Рівняння теплопровідності плоскої стінки

Розглянемо передачу тепла теплопровідністю через плоску стінку (рис. 1.3.) довжина і ширина якої набагато більші від її товщини; вісь х розміщена за нормаллю до поверхні стінки. На зовнішніх поверхнях стінки підтримуються постійні температури t_ст.1 t_ст.2. Коефіцієнт теплопровідності сталий і дорівнює λ. Процес протікає стаціонарно . Згідно з рис. 1.3. температура змінюється в напрямку до осі х (поле одномірне ; ).

Рис. 1.3. Передача тепла теплопровідністю через плоску стінку

Приймемо t_ст.1 > t_ст.2. Тоді з рівняння теплопровідності (1.18.) отримуємо:

. (1.23а)

Після першого інтегрування отримуємо:

. (1.24)

Після другого інтегрування:

, (1.25.)

де С₁ і С₂ – константи інтегрування.

Рівняння (1.25) показує, що по товщині стінки температура змінюється за законом прямої лінії.

Константа інтегрування визначається з наступних граничних умов:

за х=0, t = t_ст.1 і з рівняння (1.25)

t_ст.1 = С₂

за ; t = t_ст.2 і рівняння (1.25) набуває вигляду:

Звідки знайдемо С₁

Підставимо значення констант С₁ і С₂ в рівняння (1.25) та знайдемо: (1.26) після диференціювання рівняння (1.26) отримуємо: Підставимо значення градієнта температури в рівняння теплопровідності (1.9) і визначимо кількість переданого тепла:

або (1.27)

де λ – коефіцієнт теплопровідності матеріалу стінки; δ – товщина стінки; t_ст1 – t_ст2 – різниця температур поверхонь стінки; F – поверхня стінки; τ – час.

Для безперервного процесу рівняння (1.27.) матиме вигляд:

(1.27а)

Рівняння (1.27.) і (1.27а) є відповідно рівняннями теплопровідності плоскої стінки для невстановленого і встановленого процесів теплообміну. Відношення називають тепловою провідністю, а обернену величину - термічним опором стінки. Оскільки коефіцієнт теплопровідності λ залежить від температури, то його необхідно приймати за середньої температури стінки:

Розглянемо передачу тепла через багатошарову стінку (рис. 14.), яка складається. з n шарів, що відрізняються один від одного товщиною і теплопровідністю.

Рис. 1.4. Передача тепла теплопровідністю через багатошарову стінку

Під час встановленого руху кількість тепла, що передається через кожний шар є сталою і описується рівнянням:

або

або

............................................ .............................................

або

Склавши ліві і праві частини рівнянь, отримуємо:

Звідки

(1.28)

де і – порядковий номер шару, n – кількість шарів.

Рівняння (1.28) придатне для визначення теплопровідності для тіл, які мають форму безмежно довгого циліндра або кулі.

Рівняння теплопровідності циліндричної стінки

Розглянемо передачу тепла теплопровідністю через циліндричну стінку довжиною L, з внутрішнім радіусом r_в і зовнішнім радіусом r_з (рис.1.5).

Рис. 1.5. Передача тепла теплопровідністю через циліндричну стінку

Температури внутрішньої і зовнішньої поверхонь стінки сталі і дорівнюють t_ст1 і t_ст2 відповідно, тобто процес теплообміну встановлений.

Оскільки внутрішня і зовнішня поверхні не є рівними, то рівняння (1.27) в цьому випадку не можна використати. Припустимо, що t_ст1 > t_ст2 і температура змінюється в радіальному напрямку. Для циліндричної стінки її поверхня в деякому перерізі, який відповідає потоковому значенню радіуса r становить F=2·π·r·L.

Підставляючи значення F в рівняння Фур‘є (1.9), знаходимо для одномірного поля

,

і dδ заміняємо на dr.

.

Розділюючи змінні

після інтегрування отримуємо

.

Враховуючи, що ,

(1.29)

де - відношення зовнішнього діаметра циліндричної стінки до її внутрішнього діаметра; L – довжина стінки; t_ст.1 і t_ст.2 – температури внутрішньої і зовнішньої поверхонь стінки, які є сталими.

Рівняння (1.29) показує, що по товщині циліндричної стінки температура змінюється за логарифмічним законом. Це рівняння є рівнянням теплопровідності циліндричної стінки для встановленого процесу теплообміну.

Для циліндричної стінки, що складається з n шарів, кількість тепла, яка передається теплопровідністю становить

(1.29а)

де і – порядковий номер шару стінки.

Рівняння (1.27), (1.29а) для плоскої і циліндричної стінок отримані для стаціонарного (встановленого) процесу перенесення тепла теплопровідністю. Для тонких циліндричних стінок розрахунок може бути спрощений і зводиться до розрахунку плоскої стінки. Таке спрощення може мати місце за умови, що відношення δ/d_в не перевищує 0,3÷0,4, тобто

δ/d_в = 0,3÷0,4

Теплове випромінювання