Дифференцируемые векторные поля

Говорят, что в некоторой области пространства задано векторное поле, если по какому-либо правилу каждой точке поставлен в соответствие вектор .

Примером векторных полей могут служить векторы скоростей частиц в потоке жидкости или газа, вычисляемые в некоторый момент времени. Другими примерами векторных полей являются силовые векторные поля. К ним, в частности, относятся векторы сил, действующих на материальную или заряженную частицу, помещенную в ту или иную точку, где имеется гравитационное или электрическое поле.

Для векторных также как и для скалярных полей определены понятия предела и непрерывности.

Вектор называется пределом векторного поля в точке , предельной для множества (V), если справедливо следующее утверждение

.

В этом случае пишут .

Векторное поле называется непрерывным в точке если его предел в этой точке существует и равен значению, т.е. . Согласно определению предела это означает, что справедливо утверждение

.

Пусть ; тогда для достаточно малого по модулю вектора существует векторная величина

,

называемая приращением векторного поля в точке . Приращение векторного поля, очевидно, зависит от вектора . Векторная величина, аргументом которой также является вектор, называется оператором. Следовательно, приращение векторного поля представляет собой оператор, заданный на множестве допустимых сдвигов , т.е. сдвигов, при которых .

Среди всех операторов, действующих из одного векторного пространства в другое, особую роль играют линейные операторы. Они отличаются тем, что переводят любую линейную комбинацию векторов в ту же линейную комбинацию их образов. Пусть - линейный оператор, действующий в пространстве . Тогда для любого числа и пары векторов справедливы равенства:

, .

Векторное поле называется дифференцируемым в точке , если его приращение в этой точке изменяется по закону, близкому к линейному. Это значит, что существует линейный оператор и векторная величина , зависящая от , такие, что и справедливо равенство

. (3.1)

Пусть - некоторый ортонормированный базис в пространстве ; тогда каждый вектор допускает разложение . Ставя в соответствие вектору набор его координат , мы можем отождествить евклидово пространство с арифметическим пространством . Если - линейное отображение, для которого , то ему соответствует линейное отображение пространства в себя, представимое в виде матрицы размера , для которой

.

Столбцы матрицы , представляющей отображение в пространстве , являются наборами координат векторов и соответственно в базисе . Это значит, что справедливо равенство

, , (3.2)

где - -тый столбец матрицы . Столбец координат образа вектора представляет результат умножения матрицы на столбец координат вектора . Таким образом, если векторы и представлять столбцами их координат в заданном базисе, то справедливо равенство .

С учетом сказанного выше, условие дифференцируемости векторного поля, выражаемое равенством (3.1), может быть записано так

, (3.3)

где - некоторая матрица размера , а .

Следуя аналогии с одномерным случаем, где условие дифференцируемости выражается равенством (2.3), назовем матрицу производной векторного поля в точке , при этом будем использовать обозначения . Тогда, аналогично тому, как это было сделано для скалярных полей, равенство (3.3) может быть переписано в виде

. (3.4)

Пусть в пространстве задана кривая , все точки которой принадлежат множеству , где определено векторное поле . Тогда в точках кривой векторное поле представляет собой сложную вектор-функцию переменного

.

Покажем, что, если векторное поле дифференцируемо в точках кривой, а сама кривая гладкая, то эта вектор-функция дифференцируема. Действительно, пусть , положим ; тогда . По определению производной

.

Поскольку векторное поле дифференцируемо в точке , его приращение в этой точке представляется в виде (3.4). Поэтому

.

Последнее равенство справедливо поскольку, во-первых, в силу непрерывности линейного отображения, справедливо равенство

и, во-вторых, согласно определению, .

Полученное равенство, выражающее производную векторного поля по параметру, можно записать так

. (3.5)

Это значит, что, также как и в случае скалярных полей, формула дифференцирования векторного поля по параметру аналогична формуле дифференцирования сложной функции.