Парный критерий Т - Вилкоксона

Для решения задач, в которых осуществляется сравнение двух рядов чисел, кроме критерия знаков G психолог может использовать парный критерий Т — Вилкоксона Этот критерий является более мощным, чем критерий знаков, и применяется для оценки различий экспериментальных данных, полученных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых Он позволяет выявить не только направленность изменений, но и их выраженность, т е он позволяет установить, насколько сдвиг показателей в каком-то одном направлении является более интенсивным, чем в другом

Критерий Г основан на ранжировании абсолютных величин разности между двумя рядами выборочных значений в первом и втором эксперименте (например «до» и «после» какого-либо воздействия) Ранжирование абсолютных величин означает, что знаки разностей не учитываются, однако в дальнейшем наряду с обшей суммой рангов находится отдельно сумма рангов как для положительных так и для отрицательных сдвигов. Если интенсивность сдвига в одном из направлении оказывается большей то и соответствующая сумма рангов также оказывается больше Этот сдвиг как и в случае критерия знаков называется типичным а противоположный меньший по сумме рангов сдвиг — нетипичным Как и для критерия знаков эти два сдвига оказываются дополнительными друг к другу Критерии Т — Вилкоксона базируется на величине нетипичного сдвига который называется в дальнейшем Т)и

Задача 63 Психолог проводит с младшими школьниками коррекционную работу по формированию навыков внимания используя для оценки результатов корректурную пробу Задача состоит в том чтобы определить 6}дет ли уменьшаться количество ошибок внимания у младших школьников после специальных коррекционных упражнении9

Р &ш е-яя 4,, Для решения этой задачи психолог у 19 детей

определяет количество ошибок при выполнении корректурной пробы до и после коррекционных упражнений В таблице 6 5 приведены соответствуюшие экспериментальные данные и дополнительные столбцы необходимые для работы по парному критерию Т — Вилкоксона

Обработка данных по критерию Т — Вилкоксона осуществляется следующим образом

1В четвертый столбец табчицы 6 5 вносятся величины сдвигов с учетом знака Их вычисляют путем вычитания из чисел тре тьего столбца соответствующих чисел второго столбца

2В пятом столбце в соответствие каждому значению сдвига ста вят его абсолютную величину

3В шестом столбце ранжируют абсолютные величины сдвигов представленных в пятом столбце

4Подсчитывают сумму рангов В нашем примере она составляет

12 5 + 6,5 + 6 5 + 15 + 16 + 2 + 18 + 17 + 6,5 + 6,5 + 19 + 6 5 + 10 5+135+12 + 65+135 + 2 = 190

5Подсчитывают сумму рангов по формуле (II)

6 Проверяют правильность ранжирования на основе совпадения сумм рангов полученных двумя способами В нашем случае обе величины совпали 190 = 190, следовательно, ранжирование проведено правильно

7 Любым символом отмечают все имеющиеся в таблице нетипичные сдвиги В нашем случае — это три положительных сдвига

8 Суммируют ранги нетипичных сдвигов Это и будет искомая величина Т п В нашем случае эта сумма равна Т = 6,5 + + 13,5 + 6,5 = 26 5

По таблице 2 Приложения определяют критические значения Тк для п = 19 Подчеркнем, что в данном критерии, в отличие от критерия знаков, поиск критических величин в таблице 2 Приложения ведется по общему числу испытуемых

Нужная нам строка таблицы Приложения выделена ниже в таблицу 6 6

Поскольку в нашем случае основной типичный сдвиг — отрицательный, то дополнительный, «нетипичный» сдвиг будет положительным и на уровне значимости в 5% сумма рангов таких сдвигов не должна превышать числа 53, а при уровне значимости в 1% не должна превышать числа 38 Используем принятую форму записи, представим сказанное выше следующим образом

Анализ <оси значимости» показывает, что полученная величина Т попадает в зону значимости Можно утверждать, следовательно, что зафиксированные в эксперименте изменения неслучайны и значимы на 1% уровне Таким образом, применение коррекционных упражнений способствует повышению точности выполнения корректурной пробы

Полученный результат может быть переформулирован в терминах нулевой и альтернативной гипотез поскольку преобладание типичного отрицательного направления сдвига в данном конкретном эксперименте не является случайным, то должна быть принята гипотеза Я, о наличии различий, а гипотеза Ни отклонена

Обращаем внимание читателя, что направление «оси значимости» в этом критерии, так же как и критерии знаков, имеет положение нуля справа, в отличие от традиционного — слева, и увеличение числового ряда идет в противоположную сторону Для применения критерия Г Вилкоксона необходимо соблюдать следующие условия

1 Измерение может быть проведено во всех шкалах, кроме номинальной

2 Выборка должна быть связной

3 Число элементов в сравниваемых выборках должно быть равным

4 Критерий Т — Вилкоксона может применяться при численности выборки от 5 до 50 (на большую величину не рассчитана таблица достоверности)

Критерий Фридмана

Критерий Фридмана можно рассматривать как распространение критерия Т — Вилкоксона на три и большее количество измерении связной выборки испытуемых Критерий позволяет установить уровень статистической достоверности различий сразу в нескольких измерениях (от 3 до 100), но не дает возможности выявить направление изменений При наличии сразу нескольких измерений преимущество критерия Фридмана по сравнению с двумя предыдущими критериями очевидно поскольку оба эти критерия работают только с двумя столбцами чисел Предполо жим что с помощью критерия знаков нам нужно было бы срав нить четыре столбца чисел Тогда критерии знаков пришлось бы использовать шесть раз — сравнение первого столбца со вторым третьим и четвертым второго — с третьим и четвертым и тре тьего с четвертым Критерии Фридмана позволяет выявить наличие значимых различии в измерениях за один раз Задача 6 4 Шести школьникам предъявляют тест Равена Фиксируется время решения каждого задания Выясняется вопрос — будут ли найдены статистически значимые различия между временем решения первых трех задании теста9

РешениеИтак психолог измерил время решения первых трех задании теста у шести испытуемых

Результаты этих измерении приведены в таблице

Для нахождения различии можно было бы воспользоваться двумя предыдущими критериями но тогда нужно было бы срав нивать между собой данные второго столбцч с третьем и четвертым а также данные третьего столбца с четвертым т е выполнить три однотипных операции Критерии Фридмана позволяет сразу сравнить между собой три и большее число столбцов что дает возможность существенно ускорить процесс решения Применение критерия Фридмана требует выполнения следующих операций

1 Ранжирование экспериментальных данных по строкам таблицы 6 7 Обратите внимание, что в этом случае ранжирование проводится не по столбцам (вертикально), те по одному показателю в группе испытуемых, а по строкам (горизонтально), т е по всем показателям для одного испытуемого Выполняя эту и -р цию в нашей задаче перепишем еще раз таблицу 6 7, добавив в нее необходимые столбцы для значений рангов

2 Суммирование полученных рангов по столбцам таблицы 6 8

В столбце 3 получена сумма рангов равная 10, в столбце 5 — равная 15,5 и в столбце 7 — равная i0,5

3 Подсчет общей суммы рангов 10 + 15,5 + 10,5 = 36

4 Подсчет суммы рангов по формуле (1 3)

где с — число столбцов, '

п — число строк или число испытуемых (что в данном случае одно и то же)

5 Проверка правильности ранжирования Поскольку значения сумм рангов, полученных двумя разными способами совпали, следовательно ранжирование проведено правильно

6 Расчет эмпирического значения критерия Фридмана, осуществляемый по следующей формуле

*М?г^§(Ф,,(с+,) (61)

где и — количество испытуемых или строчек с — количество столбцов R — сумма рангов i-того столбца

7 Подставляем в формулу 6 1 необходимые значения из таблицы

6 8, получаем

**'•" =[бТ4 (10 10+15,1 15,5 + 105 105)J—3 6 4 = 108

8 По таблице 3 Приложения определяем величины критических значений y}t Kp для числа испытуемых равному 6 Соответствующий блок таблицы 3 Приложения представлен в таблице 6 9

Подчеркнем, что с целью стандартизации предъявления табличных значений, критические значения, взятые из таблицы 3 Приложения даны в виде, соответствующем ранее использованному варианту Следует особо подчеркнуть, что таблицы для поиска критических значений критерия Фридмана очень специфичны и отличаются от стандартных статических таблиц Здесь уровни значимости Р — даны нетрадиционно, и поэтому каждый раз следует выбирать наиболее близкие значения к 0,05 и 0,01 В нашем случае эти значения составляют 0,052 и 0 012

Переводя табличные значения в привычную форму записи, получаем

Таким образом, полученное эмпирическое значение критерия Фридмана попало в зону незначимости Отсюда следует, что статистически значимых различий во времени решения первых трех заданий теста нет

Переформулируем полученный результат в терминах нулевой и альтернативной гипотез поскольку между показателями, измеренными в трех разных условиях, существуют лишь случайные различия, то принимается нулевая гипотеза Я0, т е гипотеза о сходстве, а гипотеза Я, отклоняется

Еще одна специфическая особенность критерия Фридмана заключается в том, что в зависимости от числа измерений (условий), используются разные таблицы критических значений На это следует особо обратить внимание, чтобы не допустить ошибочных статистических выводов