Прохождение света через плоскопараллельную пластинку

Пусть луч АВ (рис.1.2) падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку. В стекле он преломится и пойдет в направлении ВС. В точке С он снова преломится и выйдет из пластинки в направлении CD. Докажем, что луч CD, выходящий из пластинки, параллелен падающему на пластинку лучу АВ.

Для преломления в точке В имеем:

, (1.4)

где n – показатель преломления пластинки. Для преломления в точке С закон (1.3) дает:

, (1.5)

так как в этом случае луч выходит из пластинки в воздух. Перемножив выражения (1.4) и (1.5), находим:

, (1.6)

или, так как ι<90⁰ и i₁<90⁰, i=i₁, откуда следует, что лучи АВ и CD параллельны.

Луч CD смещен в сторону относительно падающего луча АВ. Величина смещения h=EC зависит от толщины пластинки и углов падения и преломления. Смещение, очевидно, тем меньше, чем тоньше пластинка.

Расстояние, на которое смещает пластинка лучи света можно найти по формуле:

, (1.7)

где d – толщина пластинки.

Преломление света в призме.

Пусть луч АВ падает на одну из граней призмы (рис.1.3), преломившись в точке В, луч пойдет по направлению ВС и, вторично преломившись в точке С, выйдет из призмы воздух. Найдем угол D, на который луч, пройдя через призму, отклонится от первоначального направления. Этот угол мы будем называть углом отклонения. Угол между преломляющими гранями, называемый преломляющим углом призмы, обозначим p. Из четырехугольника BQCN в котором углы при В и С – прямые, найдем, что угол BNC равен 180⁰-p. Пользуясь этим, из четырехугольника BMCN находим:

, (1.8)

отсюда:

. (1.9)

Угол p, как внешний угол в треугольнике BCN, равен:

, (1.10)

Рис. 1.3.

где r – угол преломления в точке В, а r₁ – угол падения в точке С луча, выходящего из призмы. Далее. Пользуясь законом преломления, имеем:

. (1.11)

С помощью полученных уравнений, зная преломляющий угол призмы p и показатель преломления n, мы можем при любом угле падения i вычислить угол отклонения D.

Особенно простую форму получает выражения для угла отклонения в том случае, когда преломляющий угол призмы p мал, т.е. когда призма тонкая. А угол падения i невелик; тогда угол i₁ также мал. Заменяя приближенно в формулах (1.11) синусы углов самими углами (в радианах) имеем:

. (1.12)

Подставляя эти выражения в формулу (1.9) и пользуясь (1.10), находим:

(1.13)

Обратите внимание, что угол отклонения луча в призме зависит от показателя преломления вещества, из которого сделана призма. Показатель преломления для разных длин волн различен. Для прозрачных тел показатель преломления фиолетового участка спектра наибольший, затем следует синий участок, зеленый, желтый и наконец наименьший показатель преломления у красного участка спектра. В соответствии с этим, угол отклонения D для фиолетовых лучей наибольший, для красных – наименьший, и луч белого цвета, падающий на призму, на выходе из нее окажется разложенным на ряд цветных лучей, т.е. образуется спектр, данное явление носит название дисперсии.

Рис. 1.4.

Принцип Ферма.

В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма. Из этого принципа вытекают законы прямолинейного распространения, отражения и преломления света. В формулировке самого Ферма принцип гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.

Для прохождения участка пути ds (рис.1.4), свету требуется время dt=ds/v, где v – скорость света в данной точке среды. Считая что v=c/n, получим dt=(1/c)nds. Следовательно время τ, затрачиваемое светом на прохождение пути от точки 1 до точки 2 равно:

(1.14)

Имеющая размерность длины величина

(1.15)

называется оптической длиной пути. В однородной среде оптическая длина равна произведению геометрической длины пути s на показатель преломления среды n:

. (1.15а)

Согласно (1.14):

. (1.14а)

Пропорциональность времени прохождения τ оптической длине пути L дает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути оптическая длина которого минимальна. Точнее, оптическая длина пути должна быть экстремальной, либо стационарной – одинаковой для всех возможных путей. В последнем случае все пути света между двумя точками оказываются таутохроными (требующими для своего прохождения одинакового времени).

Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимален в случае распространения света в обратном направлении. Следовательно, луч, пущенный навстречу лучу, проделавшему путь от точки 1 до точки 2. пойдет по тому же пути, но в обратном направлении. Получим при помощи принципа Ферма законы отражения и преломления света. Пусть свет попадает из точки А в точку В отразившись от поверхности MN (рис.1.4). Среда в которой проходит луч однородна. Поэтому минимальность оптической длины пути сводится к минимальности его геометрической длины. Геометрическая длина произвольно взятого пути равна АО’В=A’O’B (вспомогательная точка А’ является зеркальным отображением точки А). Из рисунка 1.4 видно, что наименьшей длиной обладает путь луча, отразившегося в точке О, для которой угол отражения равен углу падения. Заметим, что при удалении точки О’ от точки О геометрическая длина пути неограниченно возрастает, так что в данном случае имеется только один экстремум – минимум.

Рис. 1.5.

Теперь найдем точку, в которой должен преломиться луч, распространяясь от А к В, чтобы оптическая длина пути была экстремальна (рис.1.5), для произвольного луча оптическая длин пути:

. (1.16)

Чтобы найти экстремальное значение, продифференцируем L по x и приравняем производную к нулю:

. (1.17)

Множители при n₁, n₂ равны соответственно sinυ₁ и sinυ₂. таким образом, получается соотношение

, (1.18)

выражающее закон преломления света (1.3).

Порядок выполнения работы

Задание 1. Преобразование пучка света линзами

Это пробный эксперимент, дающий первое знакомство с установкой.

Эксперимент

1. Включите питание лазера, установите на оптическую скамью микропроектор (модуль 2) и выполните юстировку установки по методике, описанной на стр. 12.

2. Пронесите экран (лист бумаги) вдоль пучка излучения лазера, проследите его ход.

3. Установите короткофокусную линзу – конденсор (модуль 5) в непосредственной близости от излучателя.

4. Исследуйте пучок после линзы, пронаблюдайте его расходимость. Убедитесь в том, что в фокальной плоскости линзы (плоскость экрана модуля 5) сформировался «точечный источник» света.

5. Поставьте после конденсора объектив (модуль 6). Исследуйте пучок после объектива при различных его положениях. Премещая объектив, добейтесь получения расходящейся, сходящейся и, наконец, плоской волны.

6. Научитесь фокусировать волну в объектной плоскости микропроектора путем перемещения объектива (когда световая волна, вышедшая из линзы-конденсора 5 после прохождения через объектив 6 оказывается сфокусированной в объектной плоскости микропроектора 2, на экране на задней стенке установки мы видим светящуюся точку минимального размера и максимальной яркости).

7. Определите минимальное расстояние между микропроектором и линзой-конденсором, при котором такая фокусировка возможна. Для этого приближайте микропроектор к конденсору с некоторым шагом (порядка 3-5 см) и для каждого нового положения микропроектора проверяйте возможность фокусировки, перемещая объектив по всему отрезку между конденсором и микропроектором.

8. Найдите положение модуля 2, при котором фокусировка получается при единственном положении объектива.

Рис. 1.6.

Задание 2. Определение показателя преломления пластины

При прохождении света через прозрачную пластину толщиной (рис. 1.6) луч смещается на расстояние h, которое можно найти по формуле (1.7). При известном значении для измерения показателя преломления пластины нужно исследовать зависимость от угла падения . Показатель преломления можно рассчитать как

(1.19)

Эксперимент

1. Поставьте перед излучателем линзу-конденсор 5. Микропроектор 2 установите в конце оптической скамьи. Координата риски модуля 2 – 67,0 см. С помощью модуля 6 сфокусируйте излучение на экране.

2. Вплотную к модулю 2 установите поворотный стол 13 и вставьте в кронштейны стола изучаемую пластину – объект 6 ( ). Угловая координата поворотного стола должна быть равна 0. Такая ориентация пластины соответствует нормальному падению ( ) пучка света на пластину.

3. Регулировочными винтами модуля 6 установите сфокусированное пятно, оказавшееся в увеличенном виде на экране задней стенки установки, на отметку 70,0 см.

4. Поворачивайте поворотный стол с шагом 15⁰ вначале по часовой стрелке, затем против. Для каждого положения стола запишите смещение светового пятна на экране относительно исходной отметки (х₁ – смещение светового пятна при повороте стола по часовой стрелке, х₂ – против часовой стрелки).

5. Для расчетов смещение луча , Н – смещение луча на экране и - увеличение микропроектора, оно принимается постоянным и равным 18.

6. Рассчитайте показатель преломления пластинки по формуле (1.19).

7. Вычислите , , , и занесите результаты в таблицу:

º	,					, %

8. Представьте окончательный результат в виде:

, …%

9. Проведите те же измерения с объектом 5 – стеклянной плоскопараллельной пластиной ( ). Необходимо выполнить измерения 4 измерения смещения светового пятна для углов падения 10⁰, 20⁰, 30⁰, 40⁰ (один раз при повороте стола 13 по часовой стрелке, другой раз – против часовой стрелки).

Рис. 1.7.

Задание 3. Определение показателя преломления призмы

При прохождении светового пучка через призму (рис. 1.7) существует угол падения, при котором отклонение пучка от начального направления минимально. При этом лучи падающего и прошедшего пучков симметричны относительно преломляющих граней призмы. Угол минимального отклонения - наименьший угол между оптической осью и преломленным лучом – связан с преломляющим углом призмы соотношением:

. (1.20)

При этом угол падения определяется законом преломления:

, (1.21)

тогда показатель преломления находится по формуле:

. (1.22)

Эксперимент

1. Освободите оптическую скамью, установите на нее поворотный стол (модуль 13), так, чтобы его риска была вблизи отметки 20 см, и поместите призму (объект 9) в объектную плоскость стола. Поворачивая стол, наблюдайте на экране установки движение пучков, отраженных от граней призмы, и преломленных в ней (рис. 1.8).

Рис. 1.8

2. Поворачивая стол, направьте отраженный от грани луч навстречу падающему, совместив следы соответствующих пучков в точке выхода луча из лазера. При этом фиксируется положение нормали к грани призмы. Зафиксируйте угловую координату стола.

3. Поверните стол против часовой стрелки до фиксации положения нормали к следующей грани призмы. Смещение стола представляет собой угол, смежный с ближайшим к вам преломляющим углом призмы . Тогда данный преломляющий угол призмы .

4. Пользуясь тем же методом, найдите остальные преломляющие углы призмы..

5. Определив положение нормали к основанию призмы – зафиксировав угловую координату стола , поворачивайте стол таким образом, чтобы световое пятно на экране перемещалось вправо, до тех пор, пока не получите минимальное отклонение преломленного луча – самое удаленное (крайнее правое) положение светового пятна на шкале экрана.

6. Снимите координату стола и определите угол падения .

7. По формуле (1.22) найдите показатель преломления.

8. Выполните пункты 5-7 для боковой грани призмы.

9. Вычислить , , , и занести результаты в таблицу:

грань	º	º	º	º	º					, %
основание
боковая

10. Представить окончательный результат в виде:

, …%

Сделайте вывод о проделанной работе.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте законы геометрической оптики.

2. Каков физический смысл абсолютного и относительного показателей преломления?

3. Показать эквивалентность двух формулировок принципа Ферма.

4. Вывести законы отражения и преломления света на основе принципа Ферма.

5. Выведите формулы 1.7 и 1.19.

6. Объясните, почему в задании 3 смещение стола представляет собой угол, смежный с преломляющим углом призмы?

7. Выведите соотношение (1.20).

8. Какова скорость света в использованных в работе веществах?

9. Рассчитайте угол полного внутреннего отражения от граней призмы.

Литература

Лабораторная работа № 2