Общая система уравнений механики деформируемого твердого тела

Получить аналитическое решение задачи механики деформируемого твердого тела – значит определить прежде всего компоненты вектора перемещения , тензоров деформаций и напряжения в любой точке области D, занятой телом, и в любой момент времени.

В общем случае, как показано ранее, 15 искомых функций должны удовлетворять следующим 15 уравнениям.

Трем уравнениям движения [см. формулу (2.9)]

. (2.98)

Шести уравнениям механического состояния

(2.99)

соответственно при упругой деформации изотропного тела [см. формулу (2.74)]; при упругопластической деформации изотропного тела [см. формулу (2.77)]; при ползучести среды [см. формулу (2.91)]. Возможны уравнения другого вида, связывающие компоненты и , в зависимости от рассматриваемого состояния тела и действующих факторов.

Шести уравнениям совместимости (неразрывности) деформаций Сен-Венана [см. формулу (1.24)]

(2.100)

и т.д. (остальные уравнения получаются круговой заменой индексов) при рассмотрении кратковременного напряженно-деформированного состояния тела. При изучении ползучести тела используются шесть аналогичных уравнений совместимости скоростей деформаций .

В уравнениях (2.98) – (2.100) использована декартова система координат и следующие введенные ранее обозначения: - проекции массовых сил и ускорения; - плотность тела; - модуль сдвига; - коэффициент Ламе; - модуль объемного сжатия; Е, v – модуль Юнга и коэффициент Пуассона; и - модули пластичности и ползучести, являющиеся соответственно функциями интенсивности деформации сдвига Г и интенсивности скорости деформации сдвига Н (см. лекцию 1); - компоненты девиатора деформации; - объемная деформация; - компоненты девиатора скорости деформации; - символ Кронекера:

где - скорость объемной деформации; и - компоненты тензоров деформаций и скоростей деформаций; связанные соответственно с компонентами перемещения и скорости соотношениями Коши:

(2.101)

При переходе к криволинейной системе координат вид всех уравнений, кроме уравнений (2.99), изменится. В лекции 1 приведены формулы перехода к цилиндрической системе координат.

Для однозначного определения напряженно-деформированного состояния тела к уравнениям (2.98) – (2.100) необходимо присоединить начальное и граничные условия. Различают три основные граничные задачи механики деформируемого твердого тела.

Если на поверхности S, ограничивающей область D тела, задан вектор напряжения , то граничные условия записываются в виде (см. лекцию 1)

(2.102)

где - нормаль к поверхности S; - проекции вектора на оси выбранной системы координат; М – точка поверхности; t – время.

В этом случае говорят о первой основной граничной задаче.

Если на поверхности S заданы условия для компонент вектора перемещения (или скорости )

(2.103)

то говорят о второй граничной задаче, где - известные функции точек поверхности и времени.

В том случае, когда на одной части поверхности S задано условие вида (2.102), а на другой – вида (2.103), говорят о третьей основной граничной задаче, иногда ее называют смешанной граничной задачей.

Отличительная особенность первой основной граничной задачи состоит в том, что ее решение в зависимости от удобства можно строить в перемещениях (скоростях) или в напряжениях. Вторую и третью граничные задачи можно решать только в перемещениях (скоростях).

Решить задачу в перемещениях – значит представить исходную систему уравнений, граничные и начальные условия через функции . Для этого достаточно подставить формулы (2.99) и (2.101) в уравнения (2.98) и граничные условия (2.102), полученная таким образом система трех уравнений и трех граничных условий будет содержать только перемещения . В этом случае надобность в уравнениях (2.100) отпадает. Они могут служить лишь для контроля полученного решения.

Если первая граничная задача решается в напряжениях , то эти функции, кроме уравнений (2.98), должны удовлетворять и системе уравнений (2.100), в которой необходимо (или ) выразить через с помощью формул (2.99).

Ясно, что вид и характер исходной системы уравнений зависит от вида соотношений (2.99). С различными частными системами таких уравнений можно познакомиться по справочной литературе, учебникам и монографиям. При решении конкретных задач мы будем получать эти уравнения в упрощенном виде.

Определение напряженно-деформированного состояния тела не может быть самоцелью. Оно лишь предпосылка для оценки прочности, устойчивости, долговечности тела, конструкции или сооружения.

Вопросы к 6-ому разделу:

2. Участок диаграммы АВ

3. Участок диаграммы ВС

4. Участок диаграммы CD

5. Теория старения

6. Эмпирическая зависимость изохорных кривых

7. Деформация вязкоупругового тела

8. Построение в шкале lg преобразованной кривой по текучести исходя из деформационной кривой и кривой ползучести

9. Угловой коэффициент полученной log кривой

10. Модуль упругости и модуль пластичности заменить функциями времени

11. Ограничение применения теории строения

12. Теория наследственной ползучести

13. Ядро ползучести

14. Резольвента ядра

15. Ядро ползучести Абеля

16. Частные случаи теории наследственной ползучести

17. Уравнение Максвелла

18. Период релаксации напряжения

19. Уравнение Кельвина-Фойгта

20. Уравнение Шведова-Бингова

21. Теория установившегося течения

22. Формула аппроксимации функции

23. Степенная зависимость

24. Экспоненциальная зависимость

25. Параметры ползучести при условиях опыта

26. Экспресс- метод определения параметров ползучести

27. Описание сложнонапряженного состояния по теории ползучести

28. Теория разрушения.

29. Функция поврежденности

30. Функция сплошности

31. Аппроклимация функции

32. Как определить время до начала разрушения

33. Время до начала разрушения

34. Диаграмма длительной прочности

35. Описать процесс ползучести степенной зависимостью

36. Накапливаемую деформацию на 2 и 3 участке вычисляют по формуле

37. Долговечность или критерий длительной прочности

38. Формула С.Н. Журкова

39. Долговечность при постоянном напряжении равном мгновенному значению

40. Общий случай критерия разрушения