Критерии разрушения на основе теории трещин

Известно, что реальная прочность твердых тел во много раз меньше теоретической, равной , где Е – модель Юнга. Объясняется это тем, что реальные тела имеют разного рода микро- и макродефекты: трещины, поры, узкие полости, инородные включения и т.п. Распределение этих дефектов в объеме тела, как правило, случайно, и поэтому случайна величина прочности материала. Экспериментально это убедительно подтверждается тем, что наблюдается разброс (иногда довольно значительный) при испытаниях одинаковых образцов в одинаковых условиях, и имеет место так называемый масштабный эффект: большие образцы имеют меньшую прочность чем малые образцы той же формы. Это характерно для всех хрупких тел вообще, горных пород и тампонажного камня в частности.

Кроме того, современные экспериментальные данные свидетельствуют о постепенном развитии разрушения и о большой роли первичных дефектов в формировании картины разрушения. Трещины начинаются развивается задолго до полного разрушения тела. Разрушение не единовременный акт, оно развивается с большей или меньшей скоростью при сравнительно невысоких напряжениях и представляет собой некоторый динамический процесс (см. разд. 4.2).

Поэтому прежние представления о наступлении разрушения при достижении некоторого критического напряжения материала устарели.

Для оценки реальной прочности тел необходимо исходить из наличия в теле дефектов. При этом важное значение приобретает использование современных результатов теории трещин [33]. Хотя эти результаты не позволяют охватить все многообразие особенностей разрушения, но их использование дает инженеру необходимый инструмент для более правильной оценки прочности тел и для более глубокого понимания причин разрушения. С помощью теории трещин можно количественно объяснить больше различие между реальной и теоретической прочностью тел, влияние масштабного фактора, различие между прочностью на сжатие и растяжение и многое другое.

Гриффитс впервые показал, что низкая реальная прочность хрупких тел вызывается наличием трещин, приводящих к значительной концентрации напряжений. В основе теории Гриффитса лежит представление об энергетическом барьере – поверхностной энергии, который необходимо преодолеть для развития трещины, т.е. для образования новой поверхности. В то же время при увеличении трещины освобождается потенциальная энергия, которая может быть израсходована на разрушение.

Любой материал в данных условиях (температура, влажность, внешняя среда и т.д.) характеризуется некоторой плотностью поверхностной энергии , которая определяет величину работы, необходимую для образования единицы новой свободной поверхности. Энергетический критерий Гриффитса формулируется следующим образом: разрушение тела развивается, если плотность освобождающейся энергии достигает критического значения. Например, для трещины длиной 2l в поле равномерно растяжения напряжением p в условиях плоской деформации критерий Гриффитса записывается в виде

,

где - потенциальная энергия тела.

Отсюда следует условие предельного равновесия при растяжении

. (4.33)

Если при данной длине трещины напряжение , то трещина не растет. Если же напряжение достигает критического значения , то трещина расширяется. Из формулы (4.33) вытекает, что не предельное напряжение - прочностная характеристика материала, а произведение

. (4.34)

В инженерных расчетах используется более удобный силовой критерий прочности Ирвина, который по существу эквивалентен критерию Гриффитса, но основан на особенности распределения напряжений в окрестности вершины трещины:

,

где r, - локальная система координат с началом в вершине трещины, k – коэффициент интенсивности напряжений (КИН), который зависит от формы тела, системы нагрузок и геометрии трещины.

Согласно критерию Ирвина, для каждого материала есть критическое значение коэффициента интенсивности напряжений , по достижении которого трещина начинает расти, т.е. для прочности тела необходимо, чтобы .

Таким образом, для оценки влияния трещин на прочность тела необходимо решить соответствующую задачу теории упругости, найти КИН и сравнить его с опытной для данного материала величиной .

Напряжения и перемещения около вершины трещины для каждого типа раскрытия определяются коэффициентами интенсивности и нормального напряжения, поперечного и продольного сдвигов соответственно. Иногда в литературе используют другие обозначения КИН и вводят иные физические понятия. Например, согласно Г.И. Баренблатту, называют модулем сцепления, а - сдвиговым модулем сцепления.

В простейших случаях равномерного растяжения плоскости плоского и антиплоского сдвигов коэффициенты интенсивности напряжений вычисляются по формулам

,

где - соответственно силы растяжения, плоского и антиплоского сдвигов.

, (4.35)

где - угол начального распространения трещины относительно ее направления (ориентации).

Отсюда и находятся критические значения внешней нагрузки, при которой начинается локальное разрушение тела. Например, при равномерном растяжении или сжатии плоскости с трещиной, расположенной под углом к направлению внешней силы, имеют место следующие формулы для определения:

Коэффициентов интенсивности напряжений

;

угла начального распространения трещины

.

Предельного напряжения

,

где верхние знаки соответствуют растяжению, а нижние – сжатию; -критическое значение напряжения при растяжении плоскости с трещиной, перпендикулярной к направлению растяженияи.

Коэффициенты интенсивности напряжений при указанных на рис. видах нагружения вычисляются по формуле [7]

,

где

разрушение образца в целом определяется локальной прочностью его наиболее слабого элемента объема.

Функция распределения прочности при хрупком разрушении представляется следующим образом:

(4.36)

где - параметры закона распределения, подлежащие определению из опытов.

Последнее выражение с помощью двукратного логарифмирования можно преобразить в уравнение прямой

в координатах и . Обычно для построения прямой используются абсциссы и соответствующие им ординаты , где ; т – номер наблюдаемого значения прочности (расположены в порядке возрастания); п – общее число наблюдений.

Для определения параметров и используется либо графическое построение, либо метод наименьших квадратов. В результате

,

где - значение х при у = 0.

Доказано, что параметр связан с объемом тела. Если найден параметр для образца объемом , то для образца объемом будет

.

Вероятность разрушения образца под действием напряжения вычисляется по формуле

,

где отношение можно рассматривать как коэффициент безопасности.

Отсюда легко доказать, что для двух образцов, объемы которых и , разрушение равновероятно, если выполняется соотношение

.

В общем случае результаты испытаний на прочность могут быть приближены одним уравнением (4.36) лишь в довольно ограниченном интервале. Чаще для адекватного описания требуются две прямые с различным наклоном. Точка пересечения этих прямых может означать изменение самого механизма разрушения.

Для того, чтобы определить влияние на хрупкое разрушение неоднородного поля напряжений, сравнивают наибольшее напряжение в неоднородном поле напряжений в момент разрушения с разрушающим напряжением в однородном поле, используя условие равной вероятности разрушения.

Например, в случае чистого изгиба балки имеет место следующее соотношение между прочностью на изгиб и прочностью на растяжение:

,

где V – объем образца, испытываемого на растяжение; - объем балки. Если, например, и , то .

Статистический подход к хрупкому разрушению при трехмерном напряженном состоянии может быть основан на допущении, что по отношению к разрушению напряжения не взаимодействуют. Тогда сравнение с вероятностью разрушения под действием одноосного нагружения напряжением дает уравнение равной вероятности разрушения

,

представляющее собой условие трехмерного разрушения.