Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале

(3.13)

Отсюда следует, что при h₀ = h движение жидкости происходить не будет, так как v(x) = 0. Поэтому условием существования движения является h₀ < h или, используя формулу (3.12),

Однако если учесть, что начало движения рассматриваемой жидкости обусловлено не динамическим напряжением сдвига τ₀, а статическим τ₀₀> τ₀ , то условием страгивания покоящейся жидкости будет

По формулам (3.5) определяются основные характеристики потока, впервые полученные М. П. Воларовичем и А. М. Гуткиным:

(3.14)

где

Видно, что в данном случае кинематические характеристики потока Q, v_cp и коэффициент сопротивления λ зависят от градиента давления нелинейно, что вызывает известные трудности при решении обратной задачи.

Если исходить из того, что практический интерес представляют случаи то, приняв получим

(3.15)

где - обобщенный параметр Рейнольдса; приведенная вязкость жидкости Шведова-Бингама;

- параметр Сен-Венана для плоской щели.

3. Для неньютоновской жидкости Освальда — Вейля, используя в последней системе уравнений (2.24) соотношения (3.1) и (3.9), получим

При сопоставлении этого уравнения состояния с (3.3) приходим к относительно скорости:

(3.16)

Интегрируя это уравнение при граничном условии v(h) = 0, получим распределение скорости

(3.17)

где

В результате интегральные характеристики потока (3.5) будут

(3.18)

где - обобщенный параметр Рейнольдса и — приведенная вязкость жидкости Освальда-Вейля для плоской щели. При

n =1 и k = μ формулы (3.17) — (3.18) совпадут с формулами (3.7) —(3.8).

4. При турбулентном режиме течения, когда параметры Rе, Re* или Rе' больше критических значений, решение уравнения движе­ния записывается в виде [сравните с (3.3)]

(3.19)

Касательное напряжение в зависимости от типа жидкости связано со скоростью сдвига уравнениями вида (3.6), (3.10) или (3.16). Напряжение Рейнольдса в силу соотношений (2.20), (3.1) и (3.9) удовлетворяет уравнению Прандтля:

(3.20)

где принимается, что величина l линейно зависит от расстояния до стенки канала s = h - x, т. е.

s, (3.21)

где — константа, определяемая из опыта.

Напряжение имеет существенное значение лишь в непосред­ственной близости от стенок канала, т. е. в узкой области, состоящей из ламинарного подслоя и буферной зоны, где ламинарные и турбулентные законы течения сравнимы между собой.

В основной области течения (турбулентное ядро) можно пренебречь напряжением . Поэтому после подстановки (3.20) и (3.21) в (3.19) получим следующее исходное дифференциальное уравнение:

(3.22)

где - приведенное значение касательного напряжения; s₁—внешняя граница буферной зоны.

Прандтль ввел в уравнение (3.22) упрощение (физически, вообще говоря, ничем не обоснованное), положив правую часть уравнения равной . Но доказывается, что это упрощение вносит в конечный результат весьма небольшую погрешность.

Если, кроме того, ввести обозначение для динамической скорости на стенке канала , то уравнение (3.22) примет вид

Интегрируя это уравнение при условии , получим следующий универсальный закон распределения скорости:

(3.23)

В области, близкой к стенке канала ( ), профиль скорости отклоняется от распределения (3.23). Однако, учитывая, что отношение , можно в гидродинамических расчетах не принимать во внимание профиль скорости в пристенной области.

Многочисленные экспериментальные исследования показали, что логарифмическое распределение (3.23) достаточно хорошо описывает профили скоростей при турбулентных течениях различ­ных жидкостей в плоских и круглых каналах с гладкими и шероховатыми стенками вплоть до больших значений параметра Рейнольдса (за исключением, разумеется, узких пристенных об­ластей). Различия могут составлять лишь входящие в (3.23) параметры.

Тогда для практически гладких и вполне шероховатых каналов формула (3.23) переписывается в виде

(3.24)

При s = h - получим максимальные значения скоростей

(3.25)

С учетом (3.25) формулы (3.24) можно записать так:

(3.26)

Отсюда путем интегрирования легко получить среднюю по сечению скорость потока

(3.27)

Найдем коэффициент сопротивления по формуле (3.8):

Если здесь воспользоваться формулами (3.27), (3.25) и преобра­зованием

то получим универсальный закон сопротивления:

для гладкого канала:

(3.28)

для вполне шероховатого канала

(3.29)

Из формул (3.28) и (3.29) следует вывод: для гладких стенок коэффициент сопротивления λ зависит только от параметров Рейнольдса, а для вполне шероховатых — от отношения s₀/h.

При переходном режиме, т. е. когда выполняется условие , коэффициент сопротивления зависит от Rе и s₀/h.

Способ его определения в этом случае, основанный на экспери­ментальных данных. В практических расчетах обычно в формулах (3.24) и (3.25) константу 8,5 заменяют на 9 и соответственно в формуле (3.29) — константу 2,12 на 2,3. Эти константы для каналов с естественной шероховатостью устанавливаются опытным путем.

Примечание. Все приведенные в этом параграфе формулы могут быть использованы и при расчете характеристик течения жидкостей по наклонной плоскости или в длинном лотке (желобе), у которого ширина b днища во много раз больше глубины потока h. Для этого необходимо принять и заменить 2b на b, где — угол наклона плоскости (лотка) к горизонту.

§ 3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале

1. Для ньютоновской жидкости, используя соотношение (3.2) в системе уравнений (2.24), получим простейшее уравнение состояния

Из сравнения с решением (3.4) следует уравнение относительно скорости

Решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее граничным условиям , имеет вид

(3.30)

где и — радиусы внутреннего и внешнего ци­линдров, ограничивающих кольцевой канал; ,

(3.31)

Нетрудно убедиться в том, что максимальная скорость жидкости будет при , а интегральные характеристики потока

(3.32)

где — параметр Рейнольдса для кольцевого канала.

Легко проверить, что при и поэтому .

Сравнивая полученные результаты с формулами (3.8), мо­жно сделать вывод, что кольцевой цилиндрический канал с отношением радиусов окружностей сечения

α> 0,3 и пло­ская щель с параметрами сечения 2h = R (1 - α) и b = πR (1+ α) эквивалентны между собой в отношении интегральных ги­дродинамических характеристик при ламинарном течении нью­тоновской жидкости, т. е. величин v_cp, Q, λ, ΔР. Одна­ко эти каналы имеют и существенное различие: переход от ламинарного режима течения к турбулентному в кольцевом канале наступает быстрее, чем в плоской щели, так как

Из формул (3.30) и (3.32) при вытекают известные формулы Хагена - Пуазейля, характеризующие течение жидкости в круглой трубе:

где — параметр Рейнольдса для трубы.

2. Для ньютоновской жидкости Шведова — Бингама, если учесть характер распределения скорости (3.30) в кольцевом зазоре и соотношения (3.2) в формулах (2.26) и (2.27), получим

где α₁R и α₂R — радиусы цилиндрических поверхностей, огра­ничивающих жесткое ядро потока (рис. 8). Используя также соотношения (3.2), из (2.24) получим следующее уравнение состояния:

Из сопоставления с решением (3.4) имеем следующее дифференциальное уравнение относительно скорости:

(3.33)

а также уравнения относительно параметров α₁ и α₂ (безразмерные радиусы ядра потока) и ω = с / R:

(3.34)

Интегрируя уравнение (3.33) при граничных условиях v (α) = v (1) = 0, получим профиль скорости

(3.35)

а из уравнений (3.34) следует, что

(3.36)

Если в последнем соотношении (3.36) принять α₁ = α и α₂ = 1, то получим условие отсутствия движения

Следовательно, течение неньютоновской жидкости Шведова — Бингама в кольцевом канале возможно при условии

Из условия сопряжения скорости при вытекает третье уравнение относительно искомых параметров

(3.37)

которое с помощью соотношений (3.36) сводится к трансцендент­ному уравнению относительно одного из параметров ω², α₁ или α₂, допускающему лишь численное решение.

Рис. 31. Характерный вид профиля скорости в кольцевом канале при течении ньютоновской жидкости Шведова-Бингама.

В табл. 9 приведены значения параметров α₁, α₂ и ω, полученные путем численного решения уравнений (3.36) и (3.37) на ЭВМ с точностью до 1%.

Таблица №9

Видно, что параметр очень слабо зависит от отношения Максимальное различие между значениями ω при и 0,9 составляет: 3,5% — при α = 0,45; 2%— при α = 0,55; 1% — при α = 0,65. Следовательно, параметр ω можно с высокой точностью вычислить по той же формуле, что и в задаче течения ньютоновской жидкости (3.31), т. е.

Решая систему уравнений (3.36), найдем с точностью до первого порядка относительно

Из сравнения с табличными значениями α₁ и α₂ легко убедиться, что погрешность такого приближения не более 4% для α₁, и 2% для α₂.

После подстановки полученных таким образом соотношений для параметров α₁, α₂ и ω в (3.35), интегрирования по кольцевому сечению и пренебрежения слагаемыми, содержащими величину в 3-й и 4-й степенях, получим следующий результат:

(3.38)

или при α > 0,3,

где — обобщенный параметр Рейнольдса: — приведенная вязкость жидкости Шведова - Бингама и - параметр Сен-Венана для кольцевого канала: - то же, что в (3.32).

Надо подчеркнуть, что приближенное решение (3.38) практически не отличается от точного при выполнении условия <0,5 или

Расчеты показывают, что параметр , является практически постоянной величиной, диапазон его изменения составляет от 0,87 до 0,88 при 0,1< α <0,9.

Сравнивая формулы (3.15) и (3.38), можно сделать полезный вы­вод: при течении жидкости Шведова — Бингама имеет место гидрав­лическая эквивалентность кольцевого цилиндрического канала и плоской щели, если ; α >0,3; 2h = R(1- α ); b = πR(1+ α )и где - соответственно предельные на­пряжения сдвига для жидкостей в щелевом и кольцевом каналах. Легко заметить, что последнее требование опускается, если принять =3/4, т.е. . Аналогично первой задаче и здесь отношение параметров Рейнольдса Rе к* и Rе_щ равно 2.

В предельном случае, когда — приведенный радиус жесткого ядра, из решений (3.35) и (3.38) следуют основные расчетные формулы для течения неньютоновской жидкости Шведова — Бингама в круглой трубе радиуса R:

(3.39)

(3.40)

, — обобщенный параметр Рейнольдса, — приведенная вязкость жидкости Шведова - Бингама и — параметр Сен-Венана для трубы. Эти формулы известны как упрощенные формулы Букингама.

3. Для неньютоновской жидкости Освальда — Вейля, используя в последнем уравнении состояния (2.24) соотношения (3.2) и значение интенсивности скорости деформации сдвига [см. формулу (2.27)].

получим

(3.41)

где использованы те же обозначения, что и в предыдущих задачах.

Из сопоставления (3.41) и (3.4) приходим к дифференциаль­ному уравнению

где — некоторая характерная величина ско­рости.

Интегрируя последнее уравнение при граничных условиях v (α) = v (1) = 0, получим профиль скорости

(3.42)

Из условия сопряжения скорости при

(3.43)

определяется параметр ω.

В общем случае ( ) интегралы в формуле (3.42) и в уравнении (3.43) нельзя представить элементарными функциями, и поэтому вычисления следует выполнять с помощью численного интегрирования на ЭВМ. То же относится и к вычислению средней скорости потока

(3.44)

Численное решение уравнения (3.43) показывает, что параметр ω (безразмерная координата максимальной скорости) практически не зависит от реологической константы модели п и весьма точно может быть вычислен по формуле (3.31). Это иллюстрирует рис. 32, где показаны профили скорости для нескольких значений п, построенные по формулам (3.42) и (3.43) при α = 0,6.

Рис. 32. Профили скорости при α = 0,6 для степенной модели Освальда — Вейля:

1, 2, 3 - соответственно при n = 0,9; 0,7; 0,5.

С достаточной точностью рассчитать среднюю скорость можно по формуле

(3.45)

При этом коэффициент гидравлического сопротивления

где - обобщенный параметр Рейнольдса, — приведенная вязкость жидкости Освальда — Вейля для кольцевого канала. В предельном случае, когда , уравнение (3.43) не имеет смысла, а из зависимости (3.42) следует элементарная формула для распре­деления скорости в сечении круглой трубы

где

Поэтому основные интегральные характеристики потока жидкости в трубе принимают вид

где — обобщенный параметр Рейнольдса и — приведенная вязкость жидкости для трубы.

4. При турбулентном режиме течения, учитывая соотношения (3.1) и характер распределения профиля скорости [см., например, соотношение (3.41)], найдем по уравнениям Прандтля (2.20) связь напряжения Рейнольдса с усредненной по времени скоростью :

(3.46)

Если исходить из тех же упрощающих предположений Прандтля, что и в области основного турбулентного ядра напряжения , принять равными касательным напряжениям на стенках канала соответственно слева и справа от цилиндрической поверхности r = ωR, то, используя формулу (21) при r = αR и r = R, получим

(3.47)

где

Из сравнения соотношений (3.46) и (3.47) получим уравнение относительно скорости

где - характерная скорость. Интегрируя данное уравнение с учетом условия при и , получим закон распределения скорости в кольцевом канале

(3.48)

где — максимальная скорость потока:

(3.49)

содержит экспериментальные параметры — размеры пристенных слоев у внутренней и внешней стенок канала.

Из равенства (3.49) следует уравнение относительно парамет­ра ω

(3.50)

Для упрощения решения этого трансцендентного уравнения примем, что отношения размеров зон турбулентного ядра и пристенных слоев слева и справа от поверхности равны между собой, т. е.

(3.51)

Тогда из уравнения (3.50) получим

(3.52)

Путем интегрирования профиля скорости (3.48), пренебрегая пристенными слоями и используя равенство (3.52), легко найти среднюю скорость турбулентного потока

(3.53)

Согласно формуле (3.5) коэффициент сопротивления

Отсюда, учитывая формулы (3.49), (3.52) и (3.53), получим

Принимая по аналогии с задачей для гладких стенок: = 0,4; закон сопротивления для кольцевого канала запишем в виде

(3.54)

где - вязкость или приведенная вязкость жидкости.

 

Рис. 33. Зависимость коэффициента сопротивле­ния от параметра Рейнольдса (закон сопротивле­ния) при турбулентном режиме течения:

1, 2 – соответственно при α = 0,9 и α = 0.

 

Если α = 0, то а=1 и соотношение (3.54) выражает известный универсальный закон сопротивления Прандтля для гладких труб, который неоднократно был проверен опытами.

При α > 0,3 величина а изменяется в пределах от 0,54 до 0,45. Следовательно, для малых кольцевых зазоров ( ) закон сопротивления (3.54) принимает вид закона сопротивления для щели (3.28), где 2h = R( 1 - α).

Из рис. 33 следует вывод, что закон сопротивления при турбулентном режиме течения слабо зависит от α, т. е. от формы канала (круглая труба, кольцевое пространство или щель). В диапазоне чисел Рейнольдса кри­вые на рис. 33 можно аппроксимировать функцией , которую принято называть формулой Блазиуса.

 

Таблица № 10

S0/R	а
		0,3	0,5	0.7	0,9
0,001	0,016	0,018	0,02	0,023	0,032
0,005	0,025	0,027	0,031	0,037	0,056
0,01	0,03	0,034	0,038	0,047	0,077
0,025	0,041	0,046	0,054	0,069	—
0,05	0,053	0,062	0,073		—

 

Отсюда непосредственно находят коэффициент сопротивления по высоте элемента шероховатости s₀ стенки канала. Некоторые значения λ, вычисленные по этой формуле, приведены в табл. 10.

Полученные выше решения дают основание сделать следующий практический вывод: при гидравлических расчетах или обра­ботке опытных данных кольцевой канал скважины можно рас­сматривать как щель с параметрами 2h = R( 1 - α) и b =π R( 1 + α). При этом точность расчета будет зависеть в основном от точности значений реологических параметров жидко­сти и геометрических параметров кольцевого зазора.

Для расчета гидравлических потерь при турбулентном ре­жиме течения жидкости в затрубном пространстве открытой части ствола скважины необходимо воспользоваться формулой Дарси — Вейсбаха, в которой среднестатистическое значение коэффициента λ должно быть установлено по опытным данным в п типовых скважинах.

 

Вопросы к 7-ому разделу:

1. Условия при течении жидкости в уравнениях состояния

2. Скорость деформации и напряжения сдвига согласно соотношения Коши и уравнения состояния при течении жидкости в щели

3. Скорость деформации и напряжения сдвига согласно соотношения Коши и уравнения состояния при течении жидкости в трубе и кольцевом пространстве

4. гидродинамические потери давления обусловлены только движением жидкости независимо от направления течения

5. Основные интегральные гидродинамические характеристики потока

6. Коэффициент трения Фаннинга

7. Прямая задача гидромеханики

8. Обратная задача гидромеханики

9. Закон Дарси – Вейсбаха

10. Ламинарное и турбулентное течение жидкости в щелевом канале.

11. Основные характеристики потока.

12. Параметры Рейнольдса для плоской щеди

13. Соотношения используемые при ламинарном течении жидкости 14. Шведова-Бингама

15. Формула вычисления ядра потока Шведова-Бингама

16. Условие существования движения жидкости

17. Условие страгивания покоящейся жидкости

18. Основные характиерситики потока полученные Воларовичем и Гуткиным.

19. Приведенная вязкость жидкости Шведова-Бингама

20. Параметры Сен-Венана в плоской щели

21. Интегральные характеристики потока для плоской щели

22. Уравнения движения при турбулентном режиме течения

23. Напряжение Рейнольдса удовлетворяеющее уравнению Прандтля

24. Динамическая скорость на стенке канала

25. Универсальный закон распределения скорости

26. Универсальный закон распределения скорости для гладких и шероховатых каналов

27. Универсальный закон сопротивления для гладкого и вполне шероховатого канала

28. Ламинарное и турбулентное течение жидкости в кольцевом канале. Простейшее уравнение состояния для Ньютоновской жидкости

29. Дифференциальное уравнение относительно скорости и его решение для кольцевого канала

30. Формулы Хагеля-Пуазейля характеризующие течения жидкости в круглой трубе.

31. Параметр Рейнольдса для трубы

32. Интенсивность касательных напряжений и скоростей деформации для жидксотей Шведова-Бингама в кольцевом канале

33. Диффиринциальное уравнение относительно скорости в жидкости Шведова-Бингама в кольцевом канале

34. Уравнение относительного параметров α₁ и α₂

35. Профиль скорости в кольцевом канале для жидкости Шведова-Бингама

36. Условие отсутствия движения в кольцевом канале

37. Условие движения жидкости Шведова-Бингама в кольцевом канале

38. Упращение формулы для кольцеовго канала Букингама

39. Значение интенсивности скорости деформации сдвига для неньютеновской жидкости Освальда де Вейля

40. Профиль скорости жидкости Освальда де Вейля степенной модели

41. Средняя скорость потока для жидкости освальда де Вейля

42. Коэффициент гидравлического сопротивления

43. Приведенная вязкость жидкости

44. Основные интегральные характериситики для потока жидкости в трубе

45. Закон распределения скорости в кольцевом канале

46. Закон сопротивления для кольцевого канала

 

РАЗДЕЛ 8. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ «СКВАЖИНА-ПЛАСТ»

---

⇐ Предыдущая9101112131415161718192021222324Следующая ⇒

---

Просмотров 1980

Эта страница нарушает авторские права

---