Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость

Задание 5. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Область интегрирования изобразить на чертеже.

Решение. Построим область интегрирования D (Рис. 1).

Для первого интеграла область интегрирования задается системой неравенств

.

Это значит, что каждая вертикальная прямая, проходящая через точки отрезка оси Ох, пересекает сначала (при движении снизу вверх) линию (назовем ее линией входа), а затем линию (назовем ее линией выхода). Графиком функции является часть окружности с центром в начале координат, радиусом , расположенная выше оси Ох. Графиком функции - прямая, совпадающая с осью Ох.

Аналогично, для второго интеграла область задается системой неравенств

.

Графиком функции является нижняя половина окружности с центром в точке (0; 2), радиусом 2.

При перемене порядка интегрирования нужно спроектировать область на другую ось (ось Оy) и найти линии входа и выхода при движении слева направо вдоль горизонтальных прямых.

Координаты точки пересечения графиков функций и можно найти, решив систему уравнений:

Þ

Þ Þ Þ .

При точка пересечения не принадлежит области интегрирования.

При получаем .

Следовательно, - точка пересечения графиков функций и (Рис. 1).

Рис. 1

Таким образом, проекция области D на ось Оy – отрезок и любая горизонтальная прямая пересекает ее в двух точках: в точке входа - и в точке выхода - . Получаем что, область интегрирования D можно задать неравенствами:

. Тогда

.

Ответ: , область интегрирования изображена на Рис. 1.

Задание 6. Вычислить двойной интеграл , .

Решение. Область интегрирования D ограничена прямой , кубической параболой и ветвью параболы , расположенной ниже оси Ох (Рис. 21). Так как любая вертикальная прямая пересекает границу области только в

Рис. 21

двух точках: в точке входа , в которой и в точке выхода , в которой , то область D можно задать в виде системы неравенств: Тогда, используя формулу: , где

получаем:

Сначала вычисляем внутренний интеграл по , считая постоянной величиной

.

Далее вычисляем внешний интеграл

.

Ответ:

Варианты заданий

Таблица 1. Варианты задания 1

Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)

Таблица 2. Варианты задания 2

Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл

Таблица 3. Варианты задания 3

Вариант	Уравнения границ	Вариант	Уравнения границ

Таблица 4. Варианты задания 4

Вариант	Интегралы	Вариант	Интегралы

Таблица 5. Варианты задания 5

Вариант	Интеграл
1 и 11
2 и 12
3 и 13
4 и 14
5 и 15
6 и 16
7 и 17
8 и 18
9 и 19
10 и 20

Таблица 6. Варианты задания 6

Вариант		Вариант

Рекомендуемая литература

1. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. М.: Наука,1960.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. М.: Высшая школа, 1980.

3. Пискунов И.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1978.

4. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Т. 1./под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П., М.: Наука, 1981.

5. Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математики. Т. 1. М.: Наука, 1973.