Условный экстремум функции многих переменных

Пусть - функция независимых аргументов и задано уравнений, связывающих аргументы функции ( ):

. Такие уравнения называются уравнениями связи.

Точка , координаты которой удовлетворяют всем уравнениям связи, называется точкой условного максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство: ( ).

Например, пусть задана функция трех переменных и уравнение связи . Геометрически это означает, что экстремум функции ищется среди точек расположенных на поверхности, задаваемой уравнением . Если записать еще одно уравнение связи , то геометрически это будет означать, что экстремум функции разыскивается на кривой линии, которая является пересечением поверхности и поверхности .

Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа:

,

где - постоянные, так называемые множители Лагранжа .

Таким образом, возможные точки условного экстремума находят из системы n+m уравнений:

Наличие или отсутствие экстремума в найденных стационарных точках устанавливают с помощью достаточных признаков, применяя их к функции Лагранжа.

Задача на условный экстремум возникает, в частности, тогда, когда необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе какой-либо области.

Для отыскания глобального экстремума функции многих переменных заданной в замкнутой области надо:

1) Найти все стационарные точки функции в этой области и точки, в которых она не дифференцируема.

2) Вычислить значение функции во всех этих точках.

3) Используя уравнения связи, которые задают границы области, составить функцию Лагранжа и решить задачу на условный экстремум функции, то есть найти максимальное и минимальное значение функции на границе области.

4) Выбрать наибольшее и наименьшее значение среди набора чисел, полученных в пунктах 2 и 3.

Расчетно-графическая работа. Задания

1. Найти пределы, не используя правило Лопиталя (табл. 1).

2. Найти производные первого порядка явно заданных функций

(табл. 2, а), б), в)) и производную второго порядка (табл. 2, г)).

3. Найти производную первого порядка (для нечетных вариантов) и второго порядка (для четных вариантов) неявно заданной функции (табл. 3).

4. Найти производную первого порядка (для четных вариантов) и второго порядка (для нечетных вариантов) параметрически заданной функции (табл. 4).

5. Выполнить задание на исследование функции (табл. 5).

6. Найти частные производные первого порядка для явно и неявно заданных функций многих переменных (табл. 6).

7. Исследовать на экстремум функцию двух переменных (табл. 7).

Пример выполнения контрольной работы №3. Вариант №0

№ 1. Найти пределы, не используя правило Лопиталя:

А) ; Б) ; В) .

№2. Найти производные явно заданных функций:

А) ?

Б) ?

В) ?

Г) ?

№3. Найти вторую производную неявно заданной функции :

?

№4. Найти вторую производную параметрически заданной функции :

?

№5. Найти точки экстремума и точки перегиба функции .

Указать промежутки монотонности, промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.

№6. Найти частные производные первого порядка функции многих переменных:

№7. Исследовать функцию на экстремум:

Решение варианта №0.

Задание № 1.

Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

А) ; Б) ; В) .

Ответ: , , .

Задание №2

Найти производные явно заданных функций:

а) ?

б) ?

в) ?

г) ?

Решение:

.

Воспользуемся правилами дифференцирования и таблицей производных основных элементарных функций.

=

.

Воспользуемся правилами дифференцирования и формулой производной для сложной функции .

.

Данная функция является степенно-показательной. Применим формулу логарифмического дифференцирования :

= .

Для нахождения второй производной необходимо найти первую производную.

Задание № 3.

Найти вторую производную неявно заданной функции :

Решение: Продифференцируем по правую и левую части уравнения, определяющего неявно заданную функцию, считая что неизвестная функция:

;

Выразим :

- первая производная неявно заданной функции.

Продифференцируем полученную первую производную повторно:

, .

Подставим в :

Таким образом, - искомая вторая производная.

Задание №4.

Найти вторую производную параметрически заданной функции :

Решение:

Для нахождения второй производной необходимо прежде найти первую производную по формуле

Получаем

-первая производная данной функции.

Найдем вторую производную по формуле:

.

.

Ответ: , где -искомая вторая производная.

Задание №5.

Найти точки экстремума и точки перегиба функции .

Указать промежутки монотонности, промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.

Решение:

Заметим, что область допустимых значений аргумента: . Для отыскания точек экстремума найдём первоначально критические точки функции: ,

при , т. е. при , - не существует при .

Очевидно, что при переходе через точку первая производная меняет свой знак с «-» на «+». А при переходе через точку не меняет знака. Значит, функция убывает на интервале ; возрастает на интервалах и точка минимума , локальный минимум:

Для нахождения точек перегиба найдём вторую производную данной функции:

при , .

- не существует при .

При переходе через точку вторая производная меняет свой знак с «+» на «-». А при переходе через точку с «-» на «+».

Таким образом, график функции выпуклый на интервале , вогнутый на интервалах и имеет две точки перегиба и .

Ответ: - точка экстремума, , - точки перегиба.

Функция: возрастает на интервалах ,

убывает на интервале .

График функции: выпуклый на интервале ,

Вогнутый .

Задание №6.

Найти частные производные первого порядка функции многих переменных:

а)

б)

Решение: а) - функция трёх переменных . При нахождении частной производной функции по переменной , считаем, что являются константами:

.

Аналогично, при нахождении частной производной функции по переменной , считаем, что являются константами:

Теперь, при нахождении частной производной считаем, что являются константами:

б) Для отыскания частных производных неявно заданной функции двух переменных используют формулы: и .

Так как , то следовательно,

.

.

.

,

.

Задание №7.

Исследовать функцию на экстремум.

Решение: Найдём стационарные точки функции:

.

Следовательно, , А(0,0) и В(3,3) - стационарные точки.

Вычислим частные производные второго порядка:

тогда .

Согласно достаточному признаку наличия экстремума в точке для функции двух переменных получим:

· в точке А(0,0): , следовательно точка А не является точкой экстремума.

· в точке В(3,3): и , следовательно точка В является точкой минимума.

.

Ответ: в точке .

Варианты заданий расчетно-графической работы.

Таблица 1. Варианта задания 1.

Вариант	а)	б)	в)

Таблица 2. Варианты задания 2.

№	А)	Б)	В)	Г)

Таблица 3. Варианты задания 3.

Вариант	?	Вариант	?

Таблица 4. Варианты задания 4.

Вариант	-?	Вариант	-?

Таблица 5. Варианты задания 5.

Вариант
	Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции: .
	Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции: .
	Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .
	Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции: .
	Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
	Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции .
	Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .
	Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
	Найти точки экстремума и промежутки монотонности графика функции .
	Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .
	Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
	Найти промежутки монотонности и экстремумы функции .
	Найти промежутки монотонности и экстремумы функции .
	Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
	Найти промежутки монотонности и экстремумы функции .
	Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
	Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
	Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .
	Найти точки перегиба, промежутки выпуклости вогнутости графика функции .
	Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Таблица 6. Варианты задания 6.

Вариант	а)	б)

Таблица 7. Варианты задания 7.

Вариант		Вариант