Расчетно-графической работы и контрольной работы

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Филиал Санкт-Петербургского государственного морского

Технического университета

СЕВМАШВТУЗ

А.Д. Романов, О.В. Черткова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Учебное пособие

Северодвинск

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………...5

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной…………..…..6

1.1. Понятие функции…………………………………………………...……...6

1.2. Предел функции………………………………………………………………7

1.2.1. Свойства пределов………….…………………………………...…….7

1.2.2. Замечательные пределы………………………………………...…….8

1.3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции………………...……...9

1.4.Непрерывность функции в точке …………..………..………………...…..10

1.4.1. Непрерывность основных элементарных функций …………..…….....10

1.4.2. Свойства функций, непрерывных в точке……………………….....11

1.5. Точки разрыва функции…………...……………………………………......12

1.5.1. Классификация точек разрыва функции…………………………...12

1.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке…………………………......13

1.7. Производная функции, её геометрический и механический смысл….....13

1.7.1. Понятие производной……………………………………………......13

1.7.2. Необходимое условие дифференцируемости функции

в точке ………..........................................................................……....14

1.8. Правила дифференцирования…………………………………………..….14

1.9. Дифференцирование сложной функции………………………………..…15

1.10. Дифференцирование обратной функции……………………………..….15

1.11. Прием логарифмического дифференцирования…………………...……16

1.12. Производная неявно заданной функции………….…………………..….16

1.13. Производная параметрически заданной функции…………………........17

1.14. Производные высших порядков………………………………...……..…18

1.14.1. Производные явно заданных функций………………………..….18

1.14.2. Производные неявно заданных функций………………………....18

1.14.3. Производные параметрических функций……………………...….19

1.15. Дифференциал функции и его геометрический смысл……………….....19

1.15.1. Дифференциал первого порядка………………………...……..…19

1.15.2. Дифференциалы высших порядков……………………………......20

1.16. Теоремы о дифференцируемых функциях……………………………....20

1.17. Правило Бернулли-Лопиталя для раскрытия неопределенностей……...21

1.18. Формула Тейлора……………………………………………………...…...23

1.19. Исследование функций с помощью производных...………………….....24

1.19.1. Монотонность функции………………………………………..….24

1.19.2. Экстремумы функции…………………………………………...….25

1.19.3. Выпуклость и вогнутость графика функции……………….....….26

2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных ………….27

2.1.Определение функции многих переменных ………………………………27

2.2. Предел и непрерывность функции многих переменных ………………..28

2.3 Частные производные функции многих переменных………………...…...29

2.3.1. Определение частной производной и её геометрический

смысл…………………………………………………………………29

2.3.2. Частные производные высших порядков ……….…………………30

2.4. Полный дифференциал функции многих переменных.

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости………...…..31

2.4.1. Определение полного дифференциала…………………….......…...31

2.4.2. Применение полного дифференциала в приближенных

вычислениях………………………………………………………….32

2.4.3. Дифференциалы высших порядков……………………………...…32

2.5. Дифференцирование сложной функции……………...………………...…33

2.6. Дифференцирование неявно заданной функции……………………….....34

2.7. Геометрические приложения частных производных…………………......35

2.7.1.Уравнения касательной и нормальной плоскости к

пространственнойкривой………………………………………...…35

2.7.2.Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности….....35

2.8 Экстремум функции многих переменных ... ………………………...…36

2.8.1. Необходимое и достаточное условия экстремума………………...36

2.8.2. Достаточные признаки наличия экстремума для функций

двух и трех переменных…………………………………………....38

2.8.3. Условный экстремум функции многих переменных …………….39

3. Расчетно-графическая работа. Задания …………………………..….41

3.1. Пример выполнения расчетно-графической работы. Вар. № 0 ...41

3.2. Варианты заданий……… ………………………………………………..49

4. Интегральное исчисление функций одной переменной…………………....57

4.1. Определение и основные методы вычисления неопределенного

интеграла………………………………………………………………….....57

4.1.1. Первообразная и неопределенный интеграл…………………….....57

4.1.2. Свойства неопределенного интеграла………………………......….57

4.1.3. Таблица основных неопределенных интегралов……………......…57

4.1.4. Метод замены переменной………………………………...……..…58

4.1.5. Метод интегрирования по частям………………………………..…59

4.2. Интегрирование основных классов элементарных функций………….....60

4.2.1. Интегрирование рациональных дробей…………………………. ..60

4.2.2. Интегрирование тригонометрических функций……………… ….61

4.2.3. Интегрирование некоторых иррациональных функций…… ……63

4.3. Определенный интеграл и методы его вычисления…………………..…..64

4.3.1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы…….…64

4.3.2. Формула Ньютона - Лейбница…………………………………...…65

4.3.3. Свойства определенного интеграла……………………………...…65

4.3.4. Замена переменной в определенном интеграле……………………66

4.3.5. Интегрирование по частям………………………………………….67

4.4. Геометрические приложения определенного интеграла…………………67

4.4.1. Площадь плоской фигуры…………………………………………..67

4.4.2. Длина дуги кривой…………………………………………………..70

4.4.3. Площадь поверхности вращения……………………………….…..71

4.4.4. Объем тела……………………………………………………….…...71

4.5. Приложения определенного интеграла к решению некоторых

задач механики и физики…………………………………………………..72

5. Несобственные интегралы……………………………………………………74

5.1. Несобственные интегралы первого рода…………………………………..74

5.2. Несобственные интегралы второго рода…………………………………..76

6. Контрольная работа . Задания………………………………………...…78

6.1. Пример выполнения контрольной работы . Вариант № 0…………...78

6.2. Варианты заданий ……………………………………………………...…80

Рекомендуемая литература…………………………………………………...…84

Основные требования к выполнению и оформлению

Расчетно-графической работы и контрольной работы

Отчетная работа содержит набор заданий, при выполнении которых необходимо соблюдать следующие правила.

· Работа должна быть выполнена в школьной тетради, имеющей широкие (не менее 3 см) поля для замечаний рецензента.

· Перед решением каждой задачи нужно привести полностью ее условие.

· Следует придерживаться той последовательности при решении задач, в какой они даны в задании, строго соблюдая при этом нумерацию примеров (задач).

· Решения задач должны сопровождаться развернутыми пояснениями, нужно привести в общем виде используемые формулы с объяснением употребляемых обозначений, а окончательный ответ следует выделить.

· В конце работы ставится дата окончания работы и подпись.

Контрольная работа не рассматривается, если ее вариант не совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки студента.

Студенты, не получившие зачета по контрольной работе, к экзамену не допускаются.

Вопросы для самопроверки

При выполнении работ и подготовке к экзамену следует рассмотреть и изучить следующие вопросы.

Алгебра

1. Определители второго, третьего и -го порядков (определения, и их свойства).

2. Понятие матрицы. Алгебраические операции над матрицами.

3. Обратная матрица и способы ее нахождения.

4. Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.

5. Системы линейных уравнений, матричная запись, основные определения (решение системы, совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы).

6. Методы решения систем линейных уравнений (метод Гаусса, обратной матрицы, формулы Крамера).

Аналитическая геометрия

7. Векторы, операции над векторами. Понятие векторного пространства и его базиса. Декартова система координат.

8. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов (определения, выражения в декартовой системе координат).

9. Общее и каноническое уравнения прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

10. Общее уравнение плоскости. Общие и канонические уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

11. Эллипс, гипербола, парабола (определения, их канонические уравнения).