Свойства функций, непрерывных в точке

1. Если и непрерывны в точке , то и функции , , и , если , являются непрерывными в точке .

2. Если непрерывна в т. и функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Последнее свойство можно записать в виде ;

т. е. операции предельного перехода и нахождения значения непрерывной функции перестановочны.

Например.

.

При вычислении пределов непрерывных функций это свойство удобно использовать в виде правила замены переменной для пределов непрерывных функций. Если непрерывна в точке и , то .

Например.

Точки разрыва функции

Определение. Функция называется непрерывной в точке справа, если она определена на полуинтервале и существует её правосторонний предел, равный , .

Определение. Функция называется непрерывной в точке слева, если она определена на полуинтервале и существует её левосторонний предел, равный , .

Определение. Точка называется точкой разрыва функции, если функция не определена в этой точке или определена, но не является в этой точке непрерывной.

Классификация точек разрыва функции

Условие непрерывности функции в точке можно записать в виде .

Классификация точек разрыва проводится в зависимости от характера нарушения этой цепочки равенств.

Точкой разрыва рода функции называется такая точка , в которой существуют и конечны оба односторонних предела функции, но они не равны друг другу ,

либо в точке односторонние пределы существуют, конечны и равны друг другу, но в точке функция либо не определена, либо значение отлично от общего значения обоих односторонних пределов в этой точке (такой разрыв в точке называют устранимым разрывом рода).

Точкой разрыва рода функции называется такая точка , в которой хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, либо не существует.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение.Функция называется непрерывной на отрезке , если она определена для любого и непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a справа, в точке b слева)

1. Теорема Вейерштрасса. Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней грани и своей нижней грани.

2. Теорема Больцано – Коши. Если функция непрерывна на и , , то для любого , заключенного между и , существует хотя бы одна точка , такая что .

Следствие.Функция , непрерывная на отрезке и принимающая на концах отрезка значения разных знаков, хотя бы в одной точке внутри отрезка обращается в , .

3. Теорема «О непрерывности обратной функции».Если функция определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке , то обратная ей функция так же определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке с концами в точках и .

Например, определена, непрерывна и строго возрастает на . , . Тогда обратная функция определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке .

Производная функции, ее геометрический и механический смысл

Понятие производной

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , обозначим приращение аргумента, тогда приращение функции в точке выразится формулой .

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если этот предел существует.

Производную функции в точке обозначают

или .

Производная функции , рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией и обозначается . Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Геометрически значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой . .

Рис.1.1.

С точки зрения физики, производная является мгновенной скоростью изменения величины в точке при изменении величины . (Например, скорость неравномерного движения в каждый момент времени равна производной от функции пути по времени).

---

⇐ Предыдущая12345678910111213141516Следующая ⇒

---

Просмотров 1006

Эта страница нарушает авторские права

---