Правило Бернулли-Лопиталя для раскрытия неопределенностей

Вычисляя пределы функций, при непосредственной подстановке в функцию значения, к которому стремится , часто получают выражения вида: , по которым нельзя сделать вывода о существовании и значении предела. Эти выражения называются неопределенностями, а нахождение таких пределов – раскрытием неопределенностей.

I. Неопределённости вида и

Теорема Бернулли-Лопиталя. Пусть и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением самой точки , и в окрестности точки . Если и являются одновременно либо бесконечно малыми (то есть ) либо бесконечно большими (то есть ) при и при этом существует предел отношения их производных при , то существует и предел отношения самих функций , причем: .

Теорема справедлива и в том случае, если .

Например.

1.

2. , .

3. Иногда правило Лопиталя применяют несколько раз:

.

II. Неопределённости вида и ( )

Для вычисления , где - бесконечно малая функция, а - бесконечно большая функция при (неопределенность )необходимо преобразовать произведение к виду (неопределенность )или к виду (неопределенность ) .

Например.

Для вычисления , где и - бесконечно большие функции при (неопределенность )необходимо преобразовать разность к виду и затем рассмотреть неопределенность типа . Если , то . Если же , то является неопределенностью типа , рассмотренной выше.

Например. .

III. Неопределенности вида , и

К неопределенностям таких типов приходят при вычислении предела выражения . Для их раскрытия выражение логарифмируют и вычисляют предел , который является неопределенностью и сводится к или .

Например.

Вычислить предел : .

Прологарифмируем выражение:

Вычислим предел логарифма:

Так как , то

Формула Тейлора

Формула Тейлора ставит в соответствие функции многочлен, значение которого в точке и n его производных совпадают со значением и её производных в той же точке.

Теорема. Пусть функция (n+1)-раз непрерывно дифференцируема в интервале , тогда для каждой точки и справедлива формула Тейлора: .

где - остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям теоремы, заменить в окрестности точки многочленом с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости, чем члены многочлена при . Это делает формулу Тейлора удобной для приближенных вычислений.

Например.

Разложить функцию в окрестности точки .

Вычислим производные функции в точке .

, ; , ;

, ;

, ;

, ;

, .

Подставим производные и в формулу Тейлора:

Окончательно,

Исследование функций с помощью производных

Монотонность функции

Теорема “Признак монотонности функции”. Если функция дифференцируема на промежутке и её производная на этом промежутке положительна (отрицательна), то функция на промежутке возрастает (убывает).

Например.

Найти промежутки монотонности функции .

Найдём производную . Очевидно, что при , и функция возрастающая, а при , и функция убывающая.

Экстремумы функции

Точка называется точкой максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки этой окрестности выполняется неравенство: ( ). Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума.

Теорема“Необходимый признак экстремума функции одного аргумента”. Если является точкой экстремума, то либо не существует.

Теорема“Первый достаточный признак экстремума функции одного аргумента”. Если непрерывна в критической точке , дифференцируема в некоторой её окрестности, за исключением быть может самой точки , и при переходе через точку производная функции меняет свой знак с + на - , то является точкой максимума , если производная меняет знак с - на + , то - точка минимума, если производная не меняет знака при переходе через , то не является точкой экстремума.

Следствие. Если , а , то при точка есть точка максимума, а при точка минимума.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a,b] надо:

1. Найти критические точки функции.

2. Выбрать из критических точек те, которые принадлежат отрезку [a,b].

3. Вычислить значение функции в выбранных точках и на концах отрезка.

4. Выбрать набольшее и наименьшее значение из полученных значений функции.