Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция называется бесконечно малой при , если .

Определение. Функция называется бесконечно большой при , если .

Теорема «О связи пределов с бесконечно малыми». существует и равен ( )тогда и только тогда, когда , где - бесконечно малая функция при .

Свойства бесконечно малых функций

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2. Произведениеконечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

3. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция.

Теорема «О связи бесконечно малых и бесконечно больших». Величина, обратная бесконечно малой функции, есть бесконечно большая функция.

Замечание. По определению полагают: если , то , , , , , .

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть и - бесконечно малые функции при .

Если , то говорят, что более высокого порядка малости, чем при .

Если , то говорят, что более низкого порядка малости, чем при .

Если , то говорят, что k-го порядка малости относительно при . При говорят, что и одного порядка малости.

Если , то говорят, что и эквивалентные бесконечно малые при .

Например.

1) Сравним и при .

Следовательно, и бесконечно малые функции, одного порядка малости при .

2) Сравним и при .

Следовательно, бесконечно малая более низкого порядка, чем

при .

3) Определить порядок малости относительно при

.

Таким образом, бесконечно малая порядка относительно при .

На основе рассмотренных замечательных пределов можно указать ряд эквивалентных бесконечно малых при :

.

Для бесконечно малых функций справедливы следующие утверждения:

1) Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если любую из них заменить ей эквивалентной;

2) Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка малости по сравнению с каждой из них;

3) Если разность двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция по сравнению с каждой из них, то эти бесконечно малые функции эквивалентны.

Непрерывность функции в точке

Непрерывность основных элементарных функций

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и в самой точке, и существует предел при , равный значению функции в точке , .

Функции , где

, степенная

, показательная

, логарифмическая

, тригонометрические

, обратные тригонометрические

называются основными элементарными функциями.

Всякая функция, явным образом заданная с помощью формулы, содержащей конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций, называется элементарной функцией.

Теорема «О непрерывности элементарных функций». Все функции, входящие в класс элементарных функций, непрерывны всюду в области их определения.