Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Если функция f(x) определена на отрезке и - произвольное разбиение этого отрезка на n частей, то интегральной суммой функции f(x) на[a,b] называется сумма вида

где Геометрически S_n есть алгебраическая сумма площадей прямоугольников, имеющих основания и высоты .

Если определенная на отрезке [a,b] функция f(x) такова, что существует конечный предел последовательности интегральных сумм S_n при условии, что наибольшая из разностей стремится к нулю, причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части [x_k-1,x_k], ни от выбора точек на этих отрезках, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b], а сам предел называется определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается символом . Таким образом,

Непрерывная, либо имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема на этом отрезке.

Геометрически определенный интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции y= f(x), осью Ox и прямыми x=a и x=b, причем площади, расположенные выше оси Ox, входят в эту сумму со знаком «плюс», а площади, расположенные ниже оси Ox, -со знаком «минус» (Рис. 3.1.).

Рис. 3.1.

4.3.2. Формула Ньютона – Лейбница

Если F(x) – одна из первообразных непрерывной на [a,b] функции f(x), то справедлива формула Ньютона – Лейбница:

Эта формула позволяет использовать для вычисления определенных интегралов известные методы нахождения неопределенных интегралов.

Например.

Свойства определенного интеграла

Замена переменной в определенном интеграле

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] , а функция x= непрерывно дифференцируема на отрезке [t₁,t₂], причем , то

Для вычисления определенного интеграла не требуется возвращаться к исходной переменной.

Например.

Интегрирование по частям

Если функции u(x), v(x) и их производные непрерывны на отрезке [a,b] , то

(формула интегрирования по частям для определенного интеграла).

Например.

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции , двумя прямыми x=a и x=b и осью Ox (такую фигуру называют криволинейной трапецией, Рис. 3.2.) вычисляется по формуле

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций и двумя прямыми x=a и x=b (Рис. 3.3.), вычисляется по формуле

Рис. 3.2. Рис. 3.3.

Например.

Рис. 3.4.

Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x=x(t), y=y(t), прямыми x=a, x=b и осью Ox, то площадь ее вычисляется по формуле

где пределы интегрирования находятся из уравнений a=x(t₁), b=x(t₂) (y(t) 0 на отрезке [t₁, t₂]).

Эта формула применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой (изменение параметра t от t₁ до t₂ должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).

Например.

Рис. 3.5.

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции и двумя лучами , где и - полярные координаты, или площадь криволинейного сектора, ограниченного дугой графика функции , вычисляется по формуле

Например.

Рис. 3.6.

Длина дуги кривой

Если гладкая кривая задана уравнением y=f(x), то длина l ее дуги равна

где a и b - абсциссы концов дуги.

Если же кривая задана параметрическими уравнениями

то

Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями

Если задано полярное уравнение гладкой кривой то

Например.