Интегрирование рациональных дробей

Интеграл от рациональной дроби , где P_m(x) и Q_n(x) многочлены степени m и n соответственно всегда вычисляется в элементарных функциях. Алгоритм вычисления:

а) если (т.е. дробь неправильная), то делим числитель на знаменатель (уголком) и выделяем целую часть и правильную рациональную дробь;

б) знаменатель дроби раскладываем на простейшие множители;

в) представляем правильную рациональную дробь в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами (вид разложения определяется разложением знаменателя на простейшие множители).

Например:

г) находим неопределенные коэффициенты, для этого домножаем обе части равенства на общий знаменатель, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства; либо придаем х произвольные значения, в частности, удобно полагать х равным действительным корням знаменателя (на практике целесообразно комбинировать оба этих метода). Получаем необходимое число уравнений для нахождения всех неопределенных коэффициентов;

д) вычисляем интегралы от целой части и элементарных дробей.

Например:

Интегрирование тригонометрических функций

а) Интегралы вида

Если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное целое число, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.

Например.

Если же m и n – четные неотрицательные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул:

Например.

Для вычисления интегралов вида где m= 2, 3, …, используются тригонометрические формулы:

Например.

б) Для интегрирования произведений синусов и косинусов различных аргументов применяются тригонометрические формулы:

в) Интегралы вида R(u,v) – рациональная функция двух переменных, приводятся к интегралам от рациональной функции нового аргумента t подстановкой . При этом используются формулы:

Например.

Если под интегралом sinx и cosx содержатся только в четных степенях, то удобнее использовать подстановку tgx=t.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

а) Интегралы вида , где R(x,y,z,…) – рациональная функция своих аргументов, m,n,p,q,…- целые числа, вычисляются с помощью подстановки x=t^s, где s – общий знаменатель дробей m/n, p/q,…

Например.

б) Интегралы вида где R – рациональная функция двух аргументов, путем выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и последующей подстановкой u=x + b/2a приводятся к интегралам одного из следующих трех типов:

Последние интегралы тригонометрической подстановкой

1) u=lsint, 2) u=ltgt, 3) u=l/cost,

соответственно,приводятся к интегралам вида

Например.

Определенный интеграл и методы его вычисления