Признаки сходимости и расходимости

1) Признак сравнения.

2) Предельный признак сравнения.

3) Признак абсолютной сходимости.

4) Необходимое условие сходимости.

Например.

Несобственные интегралы второго рода

Если функция f(x) непрерывна при и , то интеграл называют несобственным интегралом второго рода и по определению полагают

Если F(x) первообразная для f(x) и существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то – расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае .

Если подынтегральная функция неограничена в любой окрестности некоторой внутренней точки с интервала интегрирования, то полагают

Признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода аналогичны признакам из п. 4.1. (за исключением необходимого признака сходимости).

При использовании предельного признака сравнения, в случае несобственных интегралов второго рода, обычно используются интегралы вида

которые сходятся при и расходятся при .

Например.

.

Кратные интегралы

Двойной интеграл

Пусть D замкнутая область на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Oxy. Пусть z и z=f( x, y ) – произвольная функция, определенная и непрерывная в этой области. Разобьем область D на n-непересекающихся областей D_i , площади которых обозначим через . В каждой области D_i возьмем произвольную точку M_i ( x_i, y_i ) и составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой.

Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при и стремлении к нулю максимального из диаметров частичных областей D_i , который не зависит от способа разбиения области на частичные области D_i и выбора точек M_i, то этот предел называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается

, т.е.

Теорема существования двойного интеграла.Если функция непрерывна в области , то двойной интеграл существует.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Рис. 1

Величина двойного интеграла от функции в области равна объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу замкнутой областью плоскости , с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси (Рис.1), т.е. .

В частности, если , то двойной интеграл будет равен площади области D:

.

Свойства двойного интеграла

Будем считать, что все интегралы в перечисленных ниже утверждениях существуют.

· Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

, где .

· Если функции и интегрируемы в области ,то функция интегрируема в области ,причем

.

· Свойство аддитивности. Если область разбить линией на две области и , причем , а - есть линия, их разделяющая (Рис. 2), то

Рис. 2

· Если функции и непрерывны на области D и всюду в этой области , то

.

·

Теорема о среднем для двойного интеграла. Если функции и непрерывны в области и хотя бы одна из них знакопостоянна в этой области (пусть ), то найдется точка , такая что справедлива формула