Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением и пусть функция имеет непрерывные частные производные в окрестности точки , лежащей на поверхности .

Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, в которой лежит всякая касательная, проведенная в точке к любой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид:

.

Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости.

Уравнение нормали:

.

Рис. 2.5.

Например.

.

.

.

.

Экстремум функции многих переменных

Необходимое и достаточное условия экстремума

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции , если в некоторой окрестности точки , для всех точек этой окрестности выполняется неравенство: (или ). Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума.

Обозначим приращение функции через , тогда можно переформулировать определение экстремума:

Точка называется точкой максимума непрерывной функции , если в некоторой окрестности точки приращение функции строго отрицательно, . Аналогично, - точка минимума, если .

Теорема. «Необходимое условие экстремума функции многих переменных». Если дифференцируемая функция достигает в точке экстремума, то все частные производные функции в этой точке обращаются в 0:

.

Так как полный дифференциал функции это сумма произведений частных производных на дифференциалы аргументов, то можно сказать, что необходимым условием экстремума функции многих переменных является равенство нулю полного дифференциала этой функции в точке экстремума:

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются стационарными. Следовательно, если - точка экстремума функции , то либо - стационарная точка, либо в этой точке функция не дифференцируема.

Теорема. «Достаточное условие экстремума функции многих переменных». Трижды дифференцируемая в стационарной точке функция :

1. Имеет в этой точке экстремум, если дифференциал второго порядка функции в точке знакопостоянен и обращается в 0 только при выполнении условия: . Причем, точка является точкой максимума, если и, - точкой минимума, если .

2. Если дифференциал второго порядка меняет знак в окрестности , то точка не является точкой экстремума.

3. Если дифференциал второго порядка не меняет знак в окрестности точки , но обращается в 0 при некоторых наборах значений , среди которых есть отличные от 0, то функция в точке может иметь экстремум, а может и не иметь его ( в этом случае необходимо дополнительное исследование).

Достаточные признаки наличия экстремума для функций двух и

Трех переменных

1)Функция двух независимых переменных .

Пусть функция трижды дифференцируема и точка - стационарная, т.е. . Введём обозначения:

,

Тогда:

а) если и , то точка - точка минимума;

б) если и , то точка - точка максимума;

в) если , то точка не является точкой экстремума.

2)Функция трех независимых переменных .

Пусть функция трижды дифференцируема и точка стационарная, т.е. . Обозначим:

и .

Тогда, если:

а) , то - точка минимума;

б) , то - точка максимума;

в) , то - не является точкой экстремума.

Например.

.

,

Воспользуемся достаточным условием экстремума функции трёх переменных, для этого вычислим частные производные второго порядка в точке :

Так как ,то - точка минимума.

. Ответ: в точке .