Математический анализ. Дифференциальное исчисление

12. Понятие функции, способы задания функции. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции.

13. Основные элементарные функции и их графики.

14. Определение предела функции в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределах.

15. Бесконечно малые функции и их сравнение. Эквивалентные бесконечно малые функции.

16. Первый и второй замечательные пределы, следствия из них.

17. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных в точке и на замкнутом промежутке.

18. Производная функции и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.

19. Дифференциал функции. Дифференцируемость функции одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

20. Правила дифференцирования (производная суммы, произведения и частного двух функций).

21. Производная сложной функции. Таблица производных основных элементарных функций.

22. Теоремы Ролля и Лагранжа, их геометрическая интерпретация.

23. Раскрытие неопределенностей различных видов по правилу Лопиталя.

24. Достаточные признаки монотонности функции, выпуклости, вогнутости графика функции, наличия перегиба в точке.

25. Определение экстремума функции в точке. Необходимый и достаточный признаки наличия или отсутствия экстремума функции в точке.

26. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

27. Функции многих переменных. Частные производные. Теорема о равенстве частных производных, отличающихся только порядком выполнения дифференцирования.

28. Полный дифференциал функции многих переменных, инвариантность формы записи. Частные производные неявно заданной функции.

29. Необходимое условие наличия экстремума функции многих переменных в точке.

30. Достаточные признаки наличия или отсутствия экстремума в точке для функций двух и трех переменных.

Интегральное исчисление

31. Понятие первообразной функции. Теорема о совокупности первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства.

32. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

33. Метод интегрирования по частям. Основные типы интегралов, вычисляемых по частям.

34. Интегрирование рациональных дробей и рациональных тригонометрических функций.

35. Определенный интеграл как предел последовательности интегральных сумм. Свойства определенного интеграла, теорема о среднем.

36. Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница.

37. Методы замены переменной и интегрирования по частям в случае определенного интеграла.

38. Вычисление площади плоской фигуры и длины дуги кривой с помощью определенного интеграла.

39. Несобственные интегралы первого и второго рода, признаки сходимости.

40. Понятие двойного интеграла, его геометрический смысл, условия существования. Свойства двойного интеграла.

41. Метод вычисления двойного интеграла сведением его к интегралу повторному. Полярные координаты. Замена переменных в двойном интеграле.

42. Вычисление площадей плоской фигуры и поверхности с помощью двойного интеграла.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Понятие функции

Рассмотрим множество элементов и множество элементов .

Определение. Если каждому элементу ставится в соответствие по некоторому закону единственный элемент , то говорят, что на множестве задана функция со значениями в множестве .

Элементы - значения функции, элементы - значения аргумента. Множество – область определения функции, - множество значений функции. Если и – множества действительных чисел, то функцию называют действительной функцией одного аргумента.

- закон, по которому устанавливается соответствие элементов, чаще всего, задается аналитически, то есть с помощью формулы. Аналитически функция может быть задана:

- явно: когда формула разрешена относительно . Например, .

- неявно: когда формула не разрешена относительно . Например, .

- параметрически: когда и заданы в виде явных функций

параметра : . Например, .

Определение. Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами .

Рассмотрим функцию с областью определения и множеством значений ₁и функцию с областью определения ₂иобластью значений .

Определение. Если область определения ₂функции включает в себя множество значений ₁функции , то говорят, что на множестве определена сложная функция c областью значений .

Например, , ₁= и , ₂=( ). Таким образом, - сложная функция.

Определение. Пусть - функция, имеющая областью определения множество D и областью значений множество Е, такова, что из условия следует , тогда каждому соответствует единственное значение , такое, что . Тем самым определена новая функция с областью определения Е и областью значений D. и называют взаимно обратными функциями.

Например, и .

Определение. Функция называется четной, если удовлетворяет условию и нечетной, если .

Определение. Функция называется периодической, если существует положительное число (период функции) такое, что для любого .

Определение. Функция называется строго возрастающей (убывающей) при , если для любых выполняется ( ). Строго возрастающая и строго убывающая функции называются строго монотонными.

Определение. Окрестностью точки называется любой открытый промежуток, содержащий эту точку. (эпсилон)- окрестностью точки называется промежуток длины с центром в точке .

Предел функции

Пусть переменная стремится к ( ), то есть принимает значения сколь угодно близкие к , но не равные ему.

Определение. Число А называют пределом функции в точке (при ), если для любого сколь угодно малого существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . При этом пишут

.

Если неограниченно возрастает, то говорят, что стремится к плюс бесконечности: ; если неограниченно убывает, то .

Определение. Число А называют пределом функции при ( ), если для любого сколь угодно малого существует такое положительное число M, что для всех , удовлетворяющих неравенству ( ) выполняется неравенство . При этом пишут

.

Определение. Число А называют правым односторонним пределом функции при , если для любого сколь угодно малого существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Пишут

.

Аналогично определяется левый односторонний предел функции в точке.

Свойства пределов

1.Если в окрестности точки : , то .

2.Если существуют конечные пределы функций и в точке , то существуют пределы суммы, разности, произведения и частного этих функций (если ), причём

· ,

·

· ,

· .

3.Пусть существует предел и предел . Пусть в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , тогда существует предел сложной функции

Замечательные пределы

При вычислении пределов функций удобно использовать, так называемые, замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

.

Следствия: , , .

Замечание. Если непрерывная функция и , то справедливо .

Второй замечательный предел:

Следствия: , , , .

Замечание. Если непрерывная функция и , то справедливо: , , и .