Необходимое условие дифференцируемости функции в точке

Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Таким образом, непрерывность функции является необходимым условием дифференцируемости, но не является достаточным условием, т. к. производная - это предел отношения двух бесконечно малых, а этот предел может быть равен бесконечности или не существовать. Если и именно таковы, то функция не будет дифференцируемой, будучи непрерывной.

Очевидно, что в соответствующей точке график функции либо не имеет определенной касательной ( - не существует), либо угол наклона касательной к Оx равен ( ), т.е. касательная параллельна оси Oy.

Рис.1.2. Рис.1.3.

Правила дифференцирования

Пусть и дифференцируемые функции и . Тогда

1.

2. .

3. .

4. .

Таблица производных основных элементарных функций

Дифференцирование сложной функции

Пусть функция дифференцируема в точке и функция дифференцируема в точке ( ), тогда сложная функция дифференцируема в точке и её производная определяется формулой :

.

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной .

Например.

Найти производную функции .

Здесь , , , Тогда, .

Дифференцирование обратной функции

Пусть функция непрерывна и строго монотонна в окрестности точки и пусть при существует производная , тогда и обратная функция также дифференцируема в окрестности точки и её производная определяется формулой: (т. е. ).

Например, и обратная функция ,

тогда .

Прием логарифмического дифференцирования

Операция применения к функции сначала логарифмирования, а затем дифференцирования называется логарифмическим дифференцированием. Выражение называется логарифмической производной функции . Таким образом, для нахождения производной получаем формулу логарифмического дифференцирования:

или

Прием логарифмического дифференцирования удобно применять:

· при нахождении производной функции, которая равна произведению большого числа множителей, сначала функцию логарифмируют, логарифм произведения множителей раскладывают в сумму логарифмов и дифференцируют. Найти производную суммы функций значительно легче, чем производную произведения нескольких функций;

· при нахождении производной степенно-показательной функции:

, , поскольку основание степени и показатель зависят от , то применение формул для производной степенной или показательной функции невозможно. В этом случае:

, .

По формуле получаем

.

Например.

Найти производную функции . Имеем , , тогда .