Дифференцируемые скалярные поля

Пусть (V) – некоторая область (т.е. открытое и связное множество) в пространстве . Говорят, что в области (V) задано скалярное поле, если определено правило, позволяющее каждой точке поставить в соответствие некоторое действительное число . Таким образом, скалярное поле представляет собой некоторое отображение множества (V) в . Это отображение мы будем записывать так

, .

Наиболее распространенными скалярными полями, встречающимися в курсах физики, являются: значения температуры или плотности в точках некоторой материальной среды, величина давления в точках некоторой жидкостной или газовой среды, величина электрического или гравитационного потенциала в точках области пространства, где присутствует электрическое или гравитационное поле и др.

Для скалярных полей можно определить понятия предела и непрерывности. Так, число называется пределом скалярного поля в точке , предельной для множества (V), если справедливо следующее утверждение

.

Скалярное поле называется непрерывным в точке если

.

Другими словами, сказанное означает, что .

Пусть ; тогда для достаточно малого по величине вектора точка также будет находиться в области (V) так что существует величина

,

называемая приращением скалярного поля в точке . Приращение скалярного поля представляет собой скалярную величину, зависящую от вектора сдвига . Это значит, что скалярное поле есть функционал на множестве допустимых сдвигов . Среди всех функционалов, определенных в , особую роль играют линейные функционалы. При этом функционал называется линейным, если

.

Как известно из курса линейной алгебры, для всякого линейного функционала существует единственный вектор такой, что для любого вектора справедливо равенство

, (2.1)

где, как и выше, через обозначено скалярное произведение векторов

Скалярное поле называется дифференцируемым в точке , если его приращение в этой точке изменяется по закону, близкому к линейному. Это значит, что существует линейный функционал и функционал такие, что справедливо равенство

,

где когда . Поскольку, как уже говорилось, всякий линейный функционал задается формулой (2.1), сказанное означает, что существует вектор и функционал такие, что справедливо равенство

, . (2.2)

Вспомним определение дифференцируемости функции одной переменной, которое дается в курсе математического анализа. Согласно этому определению, функция называется дифференцируемой в точке , если справедливо равенство

,

где - некоторое число, а . Нетрудно показать, что число является производной функции в точке . Таким образом, дифференцируемая в точке функция имеет там производную и при этом справедливо равенство

. (2.3)

Сравнивая равенства (2.2) и (2.3) можно сделать вывод, что определение дифференцируемости скалярного поля аналогично определению дифференцируемости функции одной переменной. Чтобы эта аналогия была полной достаточно определить производную скалярного поля в точке , полагая . Таким образом, вектор , определяющий главную линейную часть приращения дифференцируемого в точке скалярного поля , по определению есть производная скалярного поля в этой точке. С учетом сказанного равенство (2.2) может быть переписано в виде

. (2.4)

Вектор производной скалярного поля в некоторой точке мы будем обозначать еще так .

Пусть в пространстве задана кривая , все точки которой принадлежат множеству , на котором определено скалярное поле . Тогда в точках кривой скалярное поле представляет собой сложную функцию переменной

.

Вычислим производную этой функции, предполагая скалярное поле дифференцируемым в точках кривой, а саму кривую – гладкой. Согласно определению, справедливо равенство

. (2.5)

Введем сокращенные обозначения, полагая: . Тогда числитель в правой части равенства (2.5) будет представлять собой приращение скалярного поля в точке , при этом . Поскольку скалярное поле дифференцируемо в точке , его приращение в этой точке представляется в виде

.

Подставляя в (2.5), приходим к равенствам:

Здесь следует отметить, что второе слагаемое под знаком предела в предпоследнем равенстве исчезает, поскольку . Полученное равенство можно записать в следующем виде

. (2.6)

Очевидно, формула (2.6) представляет собой аналог известной формулы дифференцирования сложной функции с той лишь разницей, что здесь вместо числовой промежуточной переменной фигурирует точка пространства .