Статистичні моделі та методи. Статистичні гіпотези та статистичні критерії. Приклади застосувань

Статистика– це галузь знань про загальні питання збору, вимірювання та аналізу масових кількісних або якісних даних.

Статистичні моделі:

1. Регресійна функція – це функція, яка виражає залежність між двома параметрами. Перший параметр нам завжди відомий, а другий – не завжди. Саме тому регресійні функції представляють інтерес.

2. Кореляційний зв’язок – це зв’язок, при якому один параметр залежить від іншого, але не однозначно.

Статистичні методи:

1. Метод найменших квадратів;2.Інтерполяція;3.дисперсійний аналіз4.регресійний аналіз5.Інші методи побудови, аналізу та відновлення залежностей.

У статистичному моделюванні сукупність завжди розглядається як вибірка — класична чи гіпотетична. Класична вибірка — це частина реальної генеральної сукупності, відібрана для обстеження за принципами вибіркового методу. Гіпотетична генеральна сукупність оперує не кількістю елементів, а кількістю можливих наслідків функціонування об’єкта моделювання в одних і тих самих умовах.

Математична статистика вивчає методи обробки дослідних даних. Основою статистичного моделювання є класичний апарат теорії ймовірностей і математичної статистики.

Основною специфічною рисою статистики є те, що вона розглядає не окреме явище, а їх сукупність. Статистикоюназивається будь-який параметр, що залежить від х₁, х₂, ..., х_n.

Статистичною гіпотезою називається припущення про невідомі параметри випадкової величини або про тип її розподілу.

Статистичний критерій – це розподіл в.в., яка для даного виду гіпотез є еталоном.

Нормальний закон розподілу – є критерієм для перевірки гіпотез ймовірнісних або числових характеристик в.в. пов’язаних з масовими явищами.

Висунуту гіпотезу, яку треба перевірити виділяють, як головну (пряму) і позначають, як правило, H₀, а іншу – як альтернативну (протилежну) і позначають H₁. Пряма та альтернативна гіпотези являють собою дві можливості вибору, що взаємовиключають одна одну.

При перевірці гіпотез виникають помилки. Помилка першого роду – це відхилити правильну пряму гіпотезу. Помилка другого роду – це прийняти неправильну пряму гіпотезу. Ймовірність α припуститися помилки першого роду називається рівнем значущості критерію, ймовірність припуститися помилки другого роду зазвичай позначають β. Величина γ = 1– α називається рівнем надійності.

Статистичні критерії для перевірки статистичних гіпотез – це закони розподілу випадкових величин, які характеризують поведінку генеральної сукупності, що відповідає припущенню гіпотези.

1.НОРМАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛзастосовується для перевірки гіпотез про співвідношення емпіричного та теорем з-ня ймовірності; для визначення довірчого інтервалу, для визн мат сподівання генеральної сукупності; для перевірки співпадання емпіричного та теоретичного з-нь мат сподівання.

2.КРИТЕРІЙ ПІРСОНА( або згоди). Критерієм Х² наз розподіл в.в., який = , - незалежні в.в. найчастіше Х² використовується для перевірки гіпотез про співпадання емпіричних та теоретичних значень.

, де - емпіричне, - теор з-ня деякого показника.

Використовується для перевірки гіпотез про тип розподілу генеральної сукупності.

Нехай з генер сукупності утворено вибірку. Будуємо полігон частот. Робимо дві гіпотези: Н₀ – генеральна сукупність має норм розподіл; Н - генеральна сукупність не має норм розподіл. Використовуючи критерій порівнюємо емпіричні з-ня з теор знач, обчисленими з припущення про те, що генер сукупність має норм розподіл.

Для критерія Пірсона відомі так звані критичні значення, тобто максимально допустимі значення , які дозволяють прийняти гіпотезу Н₀. Ці критичні з-ня обчислені в залежності від та числа S-числа степенів свободи. ( , S) , де , S=К-3 (к-ть випад значень – не випад з-нь). Якщо емп кр, то приймається гіпотеза Н₀ з рівнем надійності . При розв задач прогнозування гіпотеза про норм розподіл генеральної сукупності перевіряється на початковому етапі дослідження.

3.КРИТЕРІЙ ФІШЕРА.Якщо дано генер сукупність з норм розподілом, з якої утв дві незалежні вибірки обсягом n та m, то випадкова величина наз критерієм Фішера з степенями свободи к₁= n-1, к₂= m-1.

Використовується для перевірки гіпотез про рівність емпіричного та теорем з-нь дисперсії; про рівність двох дисперсій незал вибірок; для перевірки адекватності р-нь регресії.

Н₀: р-ня регресії є адекватним (відповідає емпіричним даним);

Н: р-ня регресії не є адекватним.

, де к₁=1, к₂=n-2 – це число степенів свободи, к₁ – к-ть незал змінних в р-ні регресії, n – к-ть випадкових з-нь, 2 – к-ть параметрів, тому к₂=n-2 , .

Критичне значення Fкр визначається за табл., в залежності від -рівня значущості та к₁ та к₂ .

Якщо Fем>Fкр, то приймається гіпотеза Н₀ з рівнем надійності .