Симетрії геометричної фігури. Група симетрії геометричної фігури та її підгрупа

Симетрія — властивість об'єкта відтворювати себе при певних трансформаціях, які називаються операціями симетрії.

Геометрична фігура симетрична, якщо існують перетворення, при яких її точки змінюють своє розташування на площині або в просторі, однак фігура накладається сама на себе. Якщо частини такої фігури накладаються на інші частини, то ці частини називають симетричними між собою. В залежності від типу перетворень розрізняють різні види симетрії.

Дзеркальна симетрія

Дзеркальною називається симетрія щодо операції відбиття відносно площини або, в планіметрії, лінії. У планіметрії цей тип симетрії називають осьовою.

Симетрія обертання

Симетрією обертання називається симетрія щодо повороту на певний кут відносно певної лінії, яка називається віссю обертання. Якщо фігура симетрична щодо повороту на будь-який кут, її називають аксіально-симетричною. Прикладом аксіально-симетричної фігури є коло, а тривимірному просторі циліндр обертання.

Якщо фігура симетрична відносно повороту тільки на певні кути, то ці величина цих кутів визначається формулою , де N ціле число, оскільки при повороті на кут фігура завжди накладається сама на себе. Відповідні вісі обертання називають осями симетрії N-го порядку.

Центральна симетрія

Геометрична фігура має центральну симетрію щодо певної точки, яка називається центром симетрії, якщо для будь-якої точки фігури існує інша точка, розташована на лінії, що сполучає дану точку з центром, з іншого боку від центра на однаковій відстані.

У планіметрії, для двовимірної фігури, центральна симетрія еквівалентна існуванню осі обертання другого порядку, тобто симетрії щодо повороту на 180°. У стереометрії, для тривимірної фігури, центральна симетрія є симетрією щодо складеної операції — повороту на 180° щодо довільної осі, яка проходить через центр симетрії, та дзеркального відбиття в площині, перпендикулярній цій осі.

Нехай - множина всіх рухів площини, які переводять фігуру F в себе. Очевидно, якщо f , g то g і , Отже - група, яка є підгрупою групи D рухів площини. Якщо група містить елементи, відмінні від одиниці групи, тобто тотожного перетворення, то вона називається групою симетричних фігур F , а її елементи - симетрія цієї фігури. Якщо ж складається лише з одного тотожного перетворення,то говорять, що фігура F не має симетрії

Група може мати нескінченну множину елементів і може містити скінченне число елементів. Якщо, наприклад, F – коло з центром О, то група є нескінченною множиною: вона містить довільне обертання з центом О і довільне відображення від прямої, що проходить через точку О. Але якщо F- рівнобедрений, але не рівносторонній трикутник, то група складається тільки з двох лементів – тотожних перетворення та відображення від прямої, яка містить висоту трикутника, проведену до основи. Відмітимо, до речі, що різносторонній трикутник не має симетрії.

Пряма називається віссю симетрії фігури F, якщо f , де f – відображення від прямої d, точка О називається центром симетрії фігури, якщо відображення від точки О належить групі . Паралелограм, відмінний від прямокутника або ромбом, має один цент симетрії – центр паралелограма і не має осей симетрії (рис. а). Прямокутник (або ромб), відмінний від квадрата, має один центр і дві вісі симетрії ( прямі і на рисунку б, в), але квадрат має чотири вісі симетрії ( прямі на рис. г)

Існують фігури, які мають нескінченну множину центрів та осей симетрії. Нехай наприклад, F- смуга між паралельними прямими , а - пряма, паралельна знаходиться від них на однаковій відстані. Тоді довільна точка прямої є центром симетрії фігури F, а довільна пряма, перпендикулярна , а також пряма - віссю симетрії цієї фігури.

Фігура називається обмеженою, якщо існує таке число m, що відстань між довільними точками фігури менша m, Якщо F- обмежена фігура, завжди знайдеться такий круг, що всі точки фігури F належать цьому кругу. Прикладами обмежених фігур є многокутник, коло. Розглянемо деякі властивості групи . Якщо F – обмежена фігура.

1. Група . Обмеженої фігури не містить паралельних перенесень не нульові вектори і ковзних симетрій.

Припустимо навпаки, що g , де g- паралельне перенесення на вектор . Тоді, якщо F, то F де . Аналогічно можна показати, що точки ,…, , які визначаються рівностями . належать фігури F. Отже, для довільно к точки і належать фігурі. Але , що неможливо, оскільки F- обмежена фігура. Таким чином , g .

Тепер доведемо, що не містить ковзних симетрій. Нехай , наприклад, f , f – ковзна симетрія. Тоді f , що не можливо, оскільки f - паралельне перенесення не нульовий вектор.

2. .Обмежена фігура має не більше ніж один центр симетрії.

Припустимо протилежне, тобто що обмежена фігура має більше ніж один центр симетрії. Розглянемо відображення від двох з цих центрів. Оскільки є , то є . Але це протирічить властивості 1., тому - паралельне перенесення на ненульовий вектор, в чому не важко переконатися.

3. Якщо обмежена фігура має центр симетрії , осі її вісі симетрії фігури, якщо вони існують, проходять через точку

Припустимо протилежне, тобто що якась вісь симетрії фігури F не проходить через точку . Розглянемо відображення g від точки і відображення f від прямої d. Оскільки g, f то є . Але це неможливо, тому що ковзна симетрія.

4. Якщо обмежена фігура має більше ніж одну симетрію, то всі ці вісі перетинаються в одній точці.

Випливає з властивості 3. Точка називається центром обертання порядку n (натуральне число більше 1) фігури F, якщо поворот площини навколо на кут = належить групі . Якщо фігура має центр симетрії , то говорять що F.

Нехай F- правильний n- кутник, - його центр, а v- поворот площини навколо точки на кут = . Розглянемо множину , де Ця множина складається з поворотів . Неважко бачити, що добуток довільних рухів цієї множини є рух цієї ж множини. Далі, оскільки , то випливає , таким чином - група (підгрупа групи . Вона називається групою поворотів правильних n- кутника.

Центр симетрії, вісь симетрії, центр обертання порядку n фігури F називається елементами симетрії цієї фігури. Наприклад: правильний трикутник АВС з центром О має три вісі симетрії ОА,ОВ,ОС, а також центр обертання О третього порядку. Коло ж має центр симетрії О і нескінченну множину осей симетрії. Довільна пряма, яка проходить через точку О, є віссю симетрії кола. Крім того,точка О також є центром обертання n-го, порядку, де n-довільне натуральне число, яке більше одиниці.

---

⇐ Предыдущая12345678910111213141516Следующая ⇒

---

Просмотров 2653

Эта страница нарушает авторские права

---