Якою має бути мінімальна кількість деталей, щоб з надійністю 0,95 відхилення середнього значення від математичного сподівання не перевищило , якщо . Відомо, що

Розв’язання: За формулою:

Маємо, що

Оскільки , то

Тому , оскільки , то:

Відповідь: треба перевірити більше 106712 деталей.

5. У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині рівний . Знайдіть об’єм піраміди, якщо її висота рівна h.

Розв’язання:

1) Оскільки піраміда правильна, то в її основі лежить квадрат, а ребра рівні, тому:

2) З іншого боку , бо в основі квадрат;

3) З за теоремою Піфагора:

4) Знайдемо об’єм піраміди за формулою:

Відповідь:

Білет №19

Елементи теорії випадкових процесів. Ланцюги Маркова та їх властивості. Марківські випадкові процеси. Пуасонівські випадкові процеси.

Ланцюг Маркова в математиці це випадковий процес, що задовольняє властивість Маркова і який приймає скінченну чи зліченну кількість значень(станів). Існують ланцюги Маркова як з дискретним так і з неперервним часом. В даній статті розглядається дискретний випадок.

Інтуїтивне визначення

Нехай I -деяка скінченна чи зліченна множина елементи якої називаються станами. Нехай деякий процес в момент часу n (де n=0,1,2,3...) може перебувати в одному із цих станів, а в час n+1 перейти в деякий інший стан(чи залишитися в тому ж). Кожен такий перехід називається кроком. Кожен крок не є точно визначеним. З певними ймовірностями процес може перейти в один з кількох чи навіть усіх станів. Якщо імовірності переходу залежать лише від часу n і стану в якому перебуває процес в цей час і не залежать від станів в яких процес перебував у моменти 0, 1, ... , n-1 то такий процес називається (дискретним) ланцюгом Маркова. Ланцюг Маркова повністю задається визначенням ймовірностей pi перебування процесу в стані в час n=0 і ймовірностей переходу зі стану в стан в час n. Якщо ймовірності переходу не залежать від часу (тобто однакові для всіх n) то такий ланцюг Маркова називається однорідним. Саме однорідні ланцюги Макова є найбільш важливими на практиці і найкраще вивченими теоретично.

Формальне визначення

Послідовність дискретних випадкових величин називаються ланцюгом Маркова (з дискретним часом), якщо

Тоді майбутні значення послідовності залежать лише від теперішнього стану і не залежать від минулих.

Матриця ,де

Називають матрицею ймовірностей переходу на n –му кроці, а вектор

- початковим розподілом ланцюга Маркова.

Очевидно, матриця ймовірнісного переходу є стохастичною, тобто

Ланцюг Маркова називається однорідним якщо:

Або еквівалентно : для всіх n.

Властивості Ланцюгів Маркова

Нерозкладність.

Стан j називається досяжним із стану і, якщо існує n=n(i,j) таке, що

Для цього факту використовується позначення .

Якщо і то використовується позначення . Дане відношення є відношенням еквівалентності. Якщо вся множина станів належить до одного класу еквівалентності то такий ланцюг Маркова називається нерозкладним. Простіше ланцюг Маркова називається нерозкладним, якщо з будь-якого його стану можна досягти будь-який інший стан за скінченну кількість кроків. Якщо з стану, що належить деякому класу можна перейти лише в інший стан цього класу то такий клас називається замкнутим.

Періодичність

Стан і маж період к якщо будь-яке повернення до стану і трапиться через кількість кроків, що ділиться на к. Формально період можна визначити за допомогою наступної формули:

Якщо к=1, тоді стан називається аперіодичним. В іншому випадку , стан називається періодичним з періодом к.

В кожному класі досяжності всі стани мають однаковий період.

Рекурентність.

Стан і називається перехідним якщо, існує ненульова ймовірність, що починаючи з і, ми ніколи не повернемося в стан і. Більш формально нехай випадкова змінна є часом першого повернення в стан і :

Тоді стан і є перехідним тоді і тільки тоді коли:

Якщо стан не є перехідним то він називається рекурентним. Неважко помітити, що якщо стан є перехідним то імовірність повернення в цей стан нескінченну кількість разів рівна нулю. У випадку рекурентного стану ця імовірність рівна одиниці. Тобто перехідний це такий стан, який процес в певний момент часу покидає назавжди, а рекурентний це такий стан до якого процес постійно повертається. Визначимо також математичне очікування часу проведення:

Для перехідного стану ця величина очевидно рівна нескінченності. Для рекурентних станів може бути як скінченним так і нескінченним. Стан і називається позитивно рекурентним, якщо є скінченне; в іншому випадку і називається нуль-рекурентним. Стан і є рекурентним тоді і лише тоді коли:

В одному класі досяжності або всі елементи є перехідними або всі елементи є рекурентними. Стан і називається поглинаючим якщо його неможливо покинути. Тобто:

Ергодичність.

Стан ланцюга Маркова, що є позитивно рекурентним і аперіодичним називається ергодичним станом

Ма́рковський проце́с — це випадковий процес, конкретні значення якого для будь-якого заданого часового параметру t+1 залежать від значення у момент часу t, але не залежать від його значень у моменти часу t-1, t-2 і т. д. (дискретний випадок марковського процесу). Іншими словами «майбутнє» процесу залежить лише від «поточного» стану, але не залежить від «минулого» (за умови, коли «поточний» стан процесу відомий).

Пуассо́нівський проце́с — це поняття теорії випадкових процесів, що моделює кількість випадкових подій, що стались, якщо тільки вони відбуваються зі сталим середнім значенням інтервалів між їхніми настаннями.

У випадку вибраних одиниць вимірювання, це середнє значення дорівнює кількостей подій за одиницю часу, де λ — параметр процесу. Цей параметр часто називають інтенсивністю пуассонівського процесу.

Якщо розглянути послідовність часових інтервалів між подіями пуассонівського процесу, то ця послідовність буде послідовністю незалежних випадкових величин, яка має назву пуассонівського потоку.

Випадковий процес з неперервним і невід'ємним часом та дискретним станами називається пуасонівським, якщо: 1) він є процесом з незалежними приростами; 2) для нього виконується однорідність по часу; 3) його часовий переріз при t=0 являє собою випадкову величину, тотожньо рівну нулю (ще кажуть: випадковий процес починається в нулі);

4) при h прямує до 0 вірними будуть твердження: а) ймовірність того, що у момент часу h випадковий процес набуде значення 0, дорівнює 1-λh+o(h); б) ймовірність того, що у момент часу h випадковий процес набуде значення 1, дорівнює λh+o(h); в) ймовірність того, що у момент часу h випадковий процес набуде значення 2, дорівнює o(h);

де o(h) — величина, порядок малості якої вищий, ніж h; λ — параметр, що визначає процес.

Додатково!!!