Посилений закон великих чисел

Білет №18

1.Граничні теореми теорії ймовірностей. Збіжність за ймовірністю та збіжність з імовірністю. Лема Бореля-Кантеллі . Посилений закон великих чисел.

Центральна гранична теорема

Розглядається один із найпростіших варіантів цієї теореми.

Теорема. Нехай задано n незалежних випадкових величин Х₁, Х₂, … Х_n, кожна із яких має один і той самий закон розподілу ймовірностей із M(Х_i) = 0, s (Х) = s і при цьому існує за абсолютною величиною початковий момент третього порядку , тоді зі зростанням числа n закон розподілу наближатиметься до нормального.

Теорема Бернуллі

Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р, то при необмеженому збільшенні числа експериментів n ® ¥ імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р, взятої за абсолютною величиною на e (e > 0) прямуватиме до одиниці зі зростанням n, що можна записати так:

(332)

Доведення. Оскільки W(A) = m / n,де m — число експериментів — яких випадкова подія А спостерігалась, n — загальне
число проведених експериментів, то ми можемо записати, що , де Х_і — дискретна випадкова величина, яка може набувати лише одного з можливих значень: 0 або 1. У табличній формі закон дискретної випадкової величини Х_і можна записати так:

Числові характеристики Х_і:

M(X_i) = 0 q + 1 p = p;

M(X²_i) = p;

D(X_i) = M(X²_i) – M²(X_i) = p – p² = p(1 – p) = pq.

Нерівність Чебишова для теореми Бернуллі матиме такий вигляд:

. (333)

Отже, доведено, що

Теорема Муавра—Лапласа

У загальному випадку випадкові величини Х₁, Х₂, … Х_n, що розглядаються в центральній граничній теоремі, можуть мати довільні закони розподілу.

Якщо Х_і є дискретними і мають лише два значення: P (Х_і = 0) = q, P (X_і = 1) = p, то приходимо до теореми Муавра—Лапласа, яка є найпростішим випадком центральної граничної теореми.

Якщо здійснюється n незалежних експериментів, у кожному з яких імовірність появи випадкової події А є величиною сталою і дорівнює p, то для інтервалу [a; b) справедлива рівність:

(348)

Доведення. Нехай проводиться n незалежних експериментів, у кожному з яких випадкова подія А може здійснитися зі сталою ймовірністю р. Тоді — поява випадкової події в n експериментах є випадковою величиною із числовими характеристиками:

M (Y) = np, D (Y) = npq, .

На підставі центральної граничної теореми розподіл випадкової величини Y зі зростанням n наближатиметься до нормального. Тому для обчислення ймовірності події a < Y < b використовується формула (261): що і треба було довести.

Теорема Чебишова

Нехай задано n незалежних випадкових величин X₁, X₂, … X_n, які мають обмежені M (Х_і)(і = 1,…, n) і дисперсії яких D(Х_і) не перевищують деякої сталої С (С > 0), тобто D(Х_і) £ C. Тоді для будь-якого малого додатного числа e імовірність відхилення середнього арифметичного цих величин

від середнього арифметичного їх математичних сподівань

,

взятого за абсолютним значенням на величину e, прямуватиме до одиниці зі збільшенням числа n:

або

. (331)

Збіжність за мірою (за ймовірностю)— це вид збіжності вимірних функцій (випадкових величин) заданих на просторі з мірою (ймовірнісному просторі).

Хай — простір з мірою. Хай — вимірні функції на цьому просторі. Говорять, що послідовність функцій збігається за мірою до функції , якщо: .

Позначення: .

У термінах теорії ймовірності, якщо даний імовірнісний простір з визначеними на ньому випадковими величинами , то говорять, що збігається за ймовірностю до , якщо

.Позначення: .

Збіжність за розподілом в теорії ймовірностей — вид збіжності випадкових величин.

Нехай дано ймовірнісний простір і на ньому визначені випадкові величини . Кожна випадкова величина індукує ймовірнісну міру на , що називається розподілом.

Випадкові величини збігаються за розподілом до випадкової величини , якщо розподіли слабко збігаються до розподілу , тобто

для будь-якої борелевої функції .

Посилений закон великих чисел.

Послідовність випадкових величин { ,n }- збігається з ймовірністю 1 до величини , якщо ймовірність всіх тих точок , для яких не існує,

або , дорівнює нулю, тобто якщо Р{{ .

Розглянемо послідовність випадкових величин _k з скінченими математичними сподіваннями. Теореми, які стверджують, що різниця збігається з ймовірністю 1 до нуля, називається посиленим законом великих чисел. Нижче приводиться дві теореми про посилений закон великих чисел, обидві вони доведені.

Теорема 1. Нехай _n – послідовність незалежних випадкових величин, для яких М , D визначені. Якщо

, то Р { - )=0}=1.

Наслідок ( теорема Бореля ). Припустимо, що розглядається послідовність незалежних випробувань, в кожному з яких з’являеться успіх У з ймовірністю р або невдача Н з ймовірністью q=1-p. Нехай - число успіхів при n випробуваннях. Тоді Р{ }=1.

Це випливає з того, що = , де _k- послідовність незалежних випадкових величин введених при доведенні теореми Бернуллі.

Теорема 2.Нехай -послідовністьнезалежних одинаково розподілених величин з скінченимматематичним сподіванням М =а. Тоді

Р { =а}=1.

Лема Бореля-Кантеллі

Перша Лема:

Нехай задано ймовірнісний простір і послідовність подій

Позначимо

Тоді якщо ряд є збіжним, то

Доведення.

Спершу зазначимо, що . Тому згідно з властивостями ймовірності маємо для усіх к:

Остання границя пояснюється тим, що сума залишкових членів збіжного ряду прямує до нуля. З виведених нерівностей одержуємо твердження теореми.

Друга Лема.

Якщо всі події сумісно незалежні, і ряд є розбіжним, то

Доведення.

Достатньо довести, що для всіх к виконується: . Справді ймовірність перетину тоді теж буде рівною одиниці.

Отже зафіксуємо К і розглянемо часткове об’єднання до деякого

Оскільки доповнення незалежних подій теж є незалежним, маємо

Зважаючи, що маємо

Останній вираз згідно з припущенням леми прямує до нуля при тому:

Однак виконується

звідки при отримаємо бажаний результат.