Уравнения -мерных плоскостей

Раздел V. Многомерные пространства

Лекция 1. -мерное аффинное (точечное) пространство. -плоскости и их взаимное расположение

Воспоминания о будущем

В математике новые идеи рождаются и развиваются, прежде всего, под влиянием требований, предъявляемых к ней другими науками, техникой.

Другим двигателем развития математики является её внутренняя логика, например, обобщение уже известных идей.

Вспомним, что рассматривая геометрическое пространство , мы определили свободный вектор как множество всех сонаправленных отрезков одинаковой длины.

Множество всех свободных векторов геометрического пространства является трехмерным векторным пространством.

Для того, чтобы задать свободный вектор, достаточно указать его представитель – направленный отрезок, а значит, задать упорядоченную пару точек. Таким образом, имеем отображение .

При этом было показано, что любой вектор можно отложить от данной точки, то есть для любой точки и любого вектора существует единственная точка такая, что .

Для свободных векторов было определено сложение по правилу треугольника. Таким образом, для любых трех точек имеет место векторное равенство .

Обобщая эти наблюдения можно дать аксиоматическое определение -мерного аффинного пространства.

Мерное аффинное пространство

Пусть – -мерное векторное пространство над полем действительных чисел. (Повторите аксиоматическое определение -мерного векторного пространства, модели векторных пространств).

О п р е д е л е н и е. Непустое множество называется аффинным -мерным пространством, если задано отображение (будем обозначать ), удовлетворяющее аксиомам Вейля:

.

.

Элементы множества будем называть точками.

Векторное пространство называется пространством переносов аффинного пространства.

Примеры (модели) аффинных пространств:

1. Из предыдущего параграфа следует, что прямая, плоскость, пространство, рассматриваемые в школьном курсе геометрии, являются примерами соответственно одномерного, двумерного и трехмерного аффинного пространства.

2. Пусть – -мерное векторное пространство над полем действительных чисел. И пусть . Определим отображение по следующему правилу: . Несложно проверить выполнение аксиом Вейля.

.

3. Арифметическая модель аффинного -мерного пространства.

Возьмем и (точки и векторы – упорядоченные наборы из действительных чисел). Определим отображение по следующему правилу:

.

Аналогично предыдущему примеру несложно проверить выполнение аксиом Вейля.

Аффинная система координат

По аналогии с трехмерным геометрическим пространством определим аффинную систему координат в -мерном аффинном пространстве с пространством переносов как точку и базис: .

Координатами точки назовем координаты её радиус-вектора: .

Очевидно, если , то .

Мерные плоскости

Пусть – -мерное подпространство -мерного векторного пространства .

Напомним, что подмножество векторного пространства является векторным подпространством тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1. ;
2. .

Приведите примеры векторных пространств и их подпространств.

О п р е д е л е н и е. -мерной плоскостью с направляющим подпространством , проходящей через точку , называется множество всех точек аффинного пространства таких, что вектор принадлежит пространству :

.

Примеры -плоскостей:

1. – нульмерное векторное пространство.

– каждая точка – нульмерная плоскость.

1. – одномерное векторное пространство.

– прямая.

1. Максимальная размерность подпространства -мерного векторного пространства может быть .

-мерная плоскость называется гиперплоскостью.

Так в геометрическом пространстве, рассматриваемом в школьном курсе геометрии, плоскости играют роль гиперплоскостей, прямые – роль одномерных плоскостей.

Отметим свойства -плоскостей

1. Если , то . Таким образом, если две -плоскости имеют общую точку и обющее направляющее подпространство, то они совпадают.
2. Для любых точек -плоскости вектор принадлежит .
3. -мерная плоскость является -мерным аффинным пространством с пространством переносов .
4. Точки аффинного пространства называются точками общего положения, если векторы образуют линейно независимую систему.

Имеет место обобщение известных аксиом школьного курса геометрии о прямой и плоскости

Для любых точек общего положения ( ) существует единственная -мерная плоскость, проходящая через эти точки.

Уравнения -мерных плоскостей

Пусть в -мерном аффинном пространстве задана аффинная система координат .

-плоскость задана точкой и направляющим подпространством с базисом .

Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда , то есть тогда и только тогда, когда или . Получили параметрические уравнения -плоскости в -мерном аффинном пространстве (вспомните параметрические уравнения прямой и плоскости в геометрическом пространстве).

Из курса алгебры известна теорема о задании подпространства векторного пространства с помощью системы линейных однородных уравнений

Т е о р е м а. Пусть дана система независимых линейных однородных уравнений

с неизвестными . Множество всех векторов -мерного векторного пространства , координаты которых удовлетворяют этой системе, является -мерным векторным подпространством пространства .

Итак, пусть векторное подпространство задано системой независимых линейных однородных уравнений. Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда координаты вектора удовлетворяют системе линейных однородных уравнений, задающих . Отсюда имеем

систему независимых линейных уравнений – общие уравнения -плоскости.

Частные случаи:

1. Прямая на плоскости ( ) – одно линейное уравнение.

2. Плоскость в трехмерном пространстве ( ) – одно линейное уравнение.

3. Прямая в трёхмерном пространстве ( ) – система двух независимых линейных уравнений.

4. Гиперплоскость в -мерном пространстве ( ) – одно линейное уравнение.

Таким образом, любая -плоскость может рассматриваться как пересечение гиперплоскостей.

О п р е д е л е н и е. Две плоскости называются пересекающимися, если они имеют хотя бы одну общую точку.

Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть плоскость, направляющее подпространство которой является пересечением направляющих подпространств этих плоскостей.

Если в -мерном аффинном пространстве плоскости и таковы, что , где – размерность пересечения направляющих подпространств, то плоскости и пересекаются (рассмотрите случай двух плоскостей, прямой и плоскости в геометрическом пространстве).

О п р е д е л е н и е. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек и направляющее подпространство одной из них содержится в направляющем подпространстве другой.

О п р е д е л е н и е. Две плоскости называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек и не параллельны.

Если сумма размерностей плоскостей больше либо равна размерности пространства, то эти плоскости не могут быть срещивающимися (в геометрическом пространстве две прямые могут быть скрещивающимися, а прямая и плоскость не могут быть скрещивающимися).