Центральное проектирование. Предмет проективной геометрии

Исторически понятие проективной геометрии возникло из практических соображений, а именно, при изображении пространственных фигур на плоскости.

Пусть глаз наблюдателя находится в точке . Чтобы получить на плоскости изображение фигуры , которое производит то же впечатление, что и сама фигура, надо через каждую точку фигуры провести прямую и найти точку пересечения этой прямой с плоскостью . Точка называется центральной проекцией точки на плоскость из центра .

Принимая за центр проектирования различные точки, и меняя положение плоскости , мы будем получать различные проекции фигуры .

Например, пусть плоскость пересекает плоскость и – прямая пересечения плоскости с плоскостью, проходящей через центр проектирования и параллельной плоскости . Тогда, в зависимости от расположения в плоскости относительно прямой , проекцией из центра на плоскость могут быть:

– для отрезка – отрезок, луч, два луча;

– для луча – луч или два луча;

– для окружности – эллипс, парабола или гипербола.

Таким образом, многие свойства фигур не сохраняются при центральном проектировании.

Какие же свойства фигур будут сохраняться при центральном проектировании? Задача изучения таких свойств, привлекавшая внимание многих геометров, привела к развитию проективной геометрии.

Рассмотрим случай центрального проектирования плоскости на плоскость из точки , не принадлежащей этим плоскостям. Это проектирование не является отображением в , так как для точки такой, что нет образа; такие точки на образуют прямую , где и .

Так же не все точки плоскости будут служить образами; такие точки образуют прямую , где и .

Для каждой точки прямой плоскости в плоскости однозначно определяется семейство прямых параллельных прямой .

Аналогично, для каждой точки прямой плоскости однозначно определяется семейство прямых параллельных прямой .

К каждому семейству параллельных прямых плоскостей и присоединим некоторые объекты, которые будем называть несобственными точками и обозначать .

Множества и назовем расширенными плоскостями, а каждую прямую с присоединенной к ней несобственной точкой − − расширенной прямой.

На расширенной плоскости:

1. Любые две расширенные прямые пересекаются.

2. Каждая прямая пересекается с множеством всех несобственных точек в единственной точке. Поэтому естественно назвать несобственной прямой.

3. Через две точки расширенной плоскости проходит единственная прямая.

Понятие расширенной плоскости можно обобщить на случай пространства. Всем параллельным между собой прямым пространства присоединяется одна общая несобственная точка. Получаем расширенное пространство.

Множество несобственных точек, присоединенных к прямым, параллельным некоторой плоскости, назовем несобственной прямой, которая является общей для всех плоскостей, параллельных упомянутой плоскости.

Множество всех несобственных точек расширенного пространства назовем несобственной плоскостью.

Рассмотрим соответствие между расширенными плоскостями и по закону:

1. Собственной точке , не принадлежащей прямой соответствует точка .

2. Собственной точке , принадлежащей прямой соответствует точка , присоединенная к семейству прямых плоскости , параллельных прямой .

3. Несобственной точке , присоединенной к семейству параллельных прямых, не содержащему прямую , соответствует точка , такая, что параллельна прямым семейства, к которому присоединена точка .

4. Несобственной точке , присоединенной к семейству прямых, параллельных прямой соответствует несобственная точка, присоединенная к семейству прямых, параллельных прямой плоскости .

Это соответствие является биекцией и называется перспективным отображением расширенной плоскости на расширенную плоскость . Сужение этого отображения на множество точек расширенной прямой плоскости естественно назвать перспективным отображением расширенной прямой на расширенную прямую .

Исторически сложилось так, что расширенное пространство назвали проективным пространством, расширенную плоскость − проективной плоскостью, расширенную прямую – проективной прямой.

Свойства фигуры, которые сохраняются при всех перспективных отображениях, являются проективными свойствами.

Проективная геометрия изучает проективные свойства фигур проективного пространства.

При перспективном отображении несобственные точки могут отображаться в собственные и наоборот, несобственная прямая − в расширенную прямую и наоборот. Таким образом, несобственная точка, несобственная прямая не являются проективными понятиями, поэтому, с точки зрения проективной геометрии, все точки проективного пространства являются равноправными, то же относится к прямым и плоскостям.