Проективные отображения прямых и пучков

Биективное отображение прямой на прямую, сохраняющее сложное отношение четырех точек, называется проективным отображением.

Т е о р е м а 1.(О задании проективного отображения парой соответствующих реперов). Если и проективные реперы на прямых и , то существует единственное проективное отображение прямой на прямую , которое репер переводит в .

Отображение , которое каждой точке прямой с заданными координатами в репере ставит в соответствие точку прямой с теми же координатами в репере , будет проективным отображением, переводящим репер в репер .

Пусть проективное отображение так же переводит репер в . Тогда для произвольной точки прямой имеем

Так как для трех точек прямой существует единственная точка, что сложное отношение равно заданному числу, то точки и совпадают, а значит, совпадают отображения и .

Таким образом, чтобы задать проективное отображение прямой на прямую, достаточно указать три пары соответствующих точек.

Из свойств перспективного отображения прямой на прямую, следует, что перспективное отображение является примером проективного отображения.

Очевидно, что не всякое проективное отображение прямой на прямую является перспективным.

Т е о р е м а 2.(Признак перспективности проективного отображения). Проективное отображение прямой на прямую является перспективным тогда и только тогда, когда точка пересечения этих прямых переходит сама в себя.

З а д а ч а 1. Проективное отображение прямой на прямую задано тремя парами соответствующих точек. Построить образ произвольной точки прямой .

У п р а ж н е н и е. Используя принцип двойственности, дать определение проективного отображения пучка на пучок, сформулировать теорему о задании проективного отображения пучка на пучок, признак перспективности проективного отображения пучка на пучок, построить образ произвольной прямой пучка при проективном отображении, заданном тремя парами соответствующих прямых.

Проективное отображение прямой на себя называется проективным преобразованием прямой.

Т е о р е м а 3.Проективное преобразование прямой, отличное от тождественного, не может иметь более двух неподвижных точек.

Доказательство легко осуществляется методом от противного.

У п р а ж н е н и е. Проективное преобразование прямой задано тремя парами соответствующих точек. Построить образ произвольной точки прямой.

Указание. Преобразование можно разложить в композицию перспективного отображения прямой на произвольную прямую с центром , при котором , , и проективного отображения прямой на прямую , определяемого тремя парами соответствующих точек . Последнее проективное отображение, в свою очередь, можно разложить в композицию двух перспективных отображений. Образ любой точки прямой при преобразовании легко найти.

Преобразование прямой, отличное от тождественного и совпадающее с обратным преобразованием, называется инволюцией.

Если инволюция, то для любой точки прямой и , то есть множество всех точек прямой разбивается на пары соответствующих друг другу точек.

Т е о р е м а 4.(Признак инволюции). Если проективное преобразование прямой переводит в , а в и , то − инволюция.

Для доказательства достаточно показать, что для любой точки прямой: и .

Т е о р е м а 5. Любая инволюция либо не имеет ни одной неподвижной точки, либо имеет ровно две неподвижныеточки.

Доказательство. Достаточно показать, что если инволюция имеет неподвижную точку, то она имеет еще одну неподвижную точку.

Пусть неподвижная точка инволюции , то есть , и , − пара соответствующих точек при инволюции. Для трех точек существует единственная точка , что

. (*)

Пусть . Тогда или . Учитывая (*), получим , то есть ─ еще одна неподвижная точка.

Инволюция, не имеющая неподвижных точек, называется эллиптической.

Инволюция, имеющая две неподвижные точки, называется гиперболической.

Из условия (*) следует, что пара неподвижных точек гиперболической инволюции гармонически разделяет любую пару соответствующих точек.