Проективная модель аффинной плоскости

На проективной плоскости P, порождаемой ненулевыми векторами трехмерного векторного пространства V, рассмотрим прямую , точки которой порождаются ненулевыми векторами двумерного векторного подпространства W.

Покажем, что множество точек проективной плоскости, за исключением точек прямой , является аффинной плоскостью.

Выберем на проективной плоскости репер так, что , то есть прямая задается уравнением . Тогда для всех точек множества координата отлична от нуля, а значит, каждый ненулевой вектор из имеет первую координату (эти векторы порождают точки из ). Условимся нормировать векторы из так, чтобы их первая координата была равна 1. То есть в качестве вектора , порождающего точку , будем брать тот из коллинеарных векторов, для которого .

Для любых двух точек и из имеем . Обозначим . Имеем отображение , которое, как легко заметить, удовлетворяет аксиомам Вейля аффинного пространства:

Таким образом, − двумерное аффинное пространство − проективная модель аффинной плоскости.

Чтобы от перейти к расширенной плоскости, то есть получить проективную плоскость, надо присоединить к прямую . Поэтому естественно назвать прямую несобственной прямой.

Рассмотрим некоторые понятия аффинной геометрии на построенной модели аффинной плоскости.

Для произвольной проективной прямой имеем . Для любых трех точек и , принадлежащих множеству , имеем . Причем , так как из векторов, порождающих точки из , мы используем те, у которых первые координаты равны 1.

Таким образом, , то есть, если точки принадлежат , то векторы и коллинеарны. Естественно множество назвать аффинной прямой на плоскости , а точку − несобственной точкой этой прямой.

Две проективные прямые и , пересекающиеся в одной точке на прямой , определяют параллельные прямые на плоскости .

Для любых трех точек аффинной прямой имеем . Число назовем простым отношением трех точек прямой . Так как , то , то есть .

Учитывая, что , , находим

.

.

Таким образом, , где − несобственная точка прямой.

Будем говорить, что точка лежит между точками и , если . С помощью понятия «лежать между» определяются отрезок, луч, угол. Точку назовем серединой отрезка , если , где .

У п р а ж н е н и е.На проективной модели аффинной плоскости построить отрезок, его середину, луч, угол, треугольник, параллелограмм.

Пусть на проективной плоскости линия второго порядка задается уравнением . Для точек множества имеем: , поэтому уравнение множества имеет вид:

.

Это обычное уравнение линии второго порядка на аффинной плоскости, поэтому множество назовем линией второго порядка на проективной модели аффинной плоскости .

Центром кривой назовем полюс несобственной прямой относительно линии . Пусть − центр линии . Если проективная прямая проходит через точку и пересекает в точках и , а прямую в точке , то . То есть и точка − центр линии , является серединой проходящих через него хорд.

Для точки поляра относительно линии задается уравнением . Точка является центром линии тогда и только тогда, когда полярой точки относительно линии является прямая , задаваемая уравнением . Таким образом, получаем систему уравнений, которым должны удовлетворять координаты центра линии:

(*)

Система (*) имеет решение вида , то есть − центр кривой является несобственной точкой, тогда и только тогда, когда . В этом случае кривую проективной плоскости назовем кривой типа параболы.

Если , то имеет центром собственную точку, которая определяется однозначно. Такие кривые на проективной модели аффинной плоскости называются центральными кривыми.

Если , то не имеет с общих вещественных точек и называется кривой типа эллипса.

Если , то имеет с две различные вещественные точки и называется кривой типа гиперболы.

Если овальная кривая типа эллипса (гиперболы, параболы), то называется эллипсом (гиперболой, параболой) на проективной модели аффинной плоскости.

Диаметром линии второго порядка на проективной модели аффинной плоскости назовем поляру любой несобственной точки.

По свойству взаимности поляритета получаем, что все диаметры линии проходят через её центр.

Можно показать, что группа всех проективных преобразований проективной плоскости, переводящих прямую в себя, изоморфна группе аффинных преобразований аффинной плоскости. То есть, с групповой точки зрения Ф. Клейна, группе соответствует аффинная геометрия.