Окрестности. Типы точек. Замыкание

Пусть – топологическое пространство.

Окрестностью точки называется любое открытое множество, содержащее эту точку.

Точка называется точкой прикосновения множества , если любая окрестность точки имеет хотя бы одну общую точку с .

Замыканием множества называется множество всех его точек прикосновения.

Т е о р е м а. (о свойствах замыканий). Замыкание множества обладает следующими свойствами:

. .

. .

. .

. .

Доказательство свойств . Не вызывает затруднений. Остановимся на доказательстве свойства .

. Сначала покажем, что замыкание множества – это замкнутое множество. Для этого достаточно показать, что множество является открытым. Для любой точки следует, что эта точка не принадлежит , то есть существует окрестность точки , не имеющая общих точек с . Тогда эта окрестность не будет иметь общих точек с множеством (предположите противное). Следовательно, и значит можно представить как объединение таких окресностей для всех точек этого множества. Множество является открытым множеством., а значит замкнутым множеством.

. Далее покажем, что если множество замкнутое, то оно совпадает со своим замыканием. Действительно, если множество замкнутое, то множество является открытым и является окрестностью каждой своей точки. Так как , то точки множества не являются точками прикосновения множества , то есть все точки прикосновения множества содержатся в : . Учитывая свойство , получаем .

Из пунктов следует справедливость свойства .

Из свойств следует ещё один способ топологизации множества. Каждому подмножеству множества поставим в соответствие некоторое подмножество , которое назовем замыканием, с соблюдением свойств . Тогда во множестве с такой структурой назовем замкнутыми те подмножества, которые совпадают со своим замыканием. Эти подмножества будут удовлетворять свойствам , следовательно, имеем топологию на ( такой способ определения топологии был предложен Куратовским, 1922 г.).

Точка называется граничной точкой множества , если любая окрестность этой точки содержит как точки принадлежащие , так и точки не принадлежащие .

Множество всех граничных точек множества называется его границей .

Очевидно, что граничная точка является точкой прикосновения и множества и множества , следовательно , то есть множество всеч граничных точек является замкнутым множеством.

Имеем , то есть само топологическое пространство не имеет границы.

Точка называется внутренней точкой множества , если существует окрестность этой точки, содержащаяся в . Множество всех внутренних точек множества называется его внутренностью.

Т е о р е м а. Замыкание множества является объединением его внутренних и граничных точек: .

С л е д с т в и я:

1. , .

2. Множество замкнутое тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу.

Можно доказать следующие свойства внутренностей

. .

. .

. .

. .

Поставив каждому подмножеству множества в соответствие некоторое подмножество , с соблюдением свойств , то есть определив операцию взятия внутренности, можно на множестве задать топологию: открытым назовем множество, которое совпадает со своей внутренностью ( такой способ определения топологии был предложен П.С Александровым, 1925 г.).

Лекция 2. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Предмет топологии. Связность и компактность как основные инварианты топологического пространства