Лекция 4. Сложные отношения точек и прямых. Гармонические четверки точек и прямых в полном четырехвершиннике

Сложное отношение четырех точек прямой

Пусть относительно репера на проективной прямой точки имеют координаты: .

Сложным (двойным) отношением четырех точек проективной прямой называется число

.

Т е о р е м а 1.Сложное отношение четырех точек прямой не зависит от выбора проективного репера на этой прямой.

Для доказательства достаточно найти формулы преобразования координат точек при переходе от одного репера к другому и убедиться, что вычисляя сложное отношение в реперах и , получим одно и то же значение.

С л е д с т в и е.Если на проективной прямой даны три точки , , , то существует единственная точка такая, что сложное отношение равно данному числу .

Доказательство. Три различные точки , , определяют на прямой репер , относительно которого , , , . Тогда . Отсюда и или , то есть . Точка своими координатами определяется на прямой однозначно.

Свойства сложного отношения четырех точек прямой:

1. .

2. .

3. Если , то либо , либо .

4. Если , то либо , либо .

Т е о р е м а 2. (О геометрическом смысле сложного отношения четырех точек расширенной прямой). Если , , , собственные, а − несобственная точка расширенной прямой, то , .

Для доказательства утверждения достаточно рассмотреть однородные аффинные координаты.

С л е д с т в и е.Сложное отношение четырех точек расширенной прямой отрицательное число, если одна из точек какой-либо пары лежит между точками другой пары, а вторая точка не лежит между точками другой пары. В этом случае будем говорить, что пары точек разделяют друг друга.

З а д а ч а 1.На евклидовой прямой даны точки , , , , , такие, что . Найти сложные отношения , .

З а д а ч а 2.Определить проективные координаты середины отрезка в репере на расширенной прямой .

Сложное отношение четырех прямых пучка

Биективное отображение прямой на прямую называется перспективным отображением с центром в точке , если соответствующие при этом отображении точки лежат на прямых пучка с центром ( ).

Т е о р е м а.Перспективное отображение прямой на прямую сохраняет сложное отношение четырех точек.

Из теоремы следует, что для четырех прямых пучка сложное отношение четырех точек, полученных при пересечении этих прямых произвольной прямой, не зависит от выбора секущей. Это сложное отношение назовем сложным отношением четырех прямых пучка.

Гармонические четверки

Четверка точек проективной прямой называется гармонической, если их сложное отношение равно .

Если , то говорят, что пара точек гармонически разделяет пару точек , или пара точек гармонически сопряжена с парой точек . Говорят также, что точка − четвертая гармоническая для упорядоченной тройки точек .

Из свойств сложного отношения для гармонической четверки следует , то есть пары точек равноправны и точки одной пары равноправны.

Аналогично определяется гармоническая четверка прямых пучка.

Полным четырехвершинником называется совокупность четырех точек общего положения и шести прямых, попарно соединяющих эти точки.

Точки , , , называются вершинами, прямые, попарно соединяющие эти точки, – сторонами четырехвершинника.

Стороны, не имеющие общих вершин, называются противоположными сторонами.

Точки , , пересечения противоположных сторон четырехвершинника называются диагональными точками.

Прямые , , , соединяющие попарно диагональные точки, называются диагоналями четырехвершинника.

Т е о р е м а.(О свойствах полного четырехвершинника). В полном четырехвершиннике

а) на каждой диагонали четверка точек: две диагональные точки и две точки пересечения диагонали со сторонами, проходящими через третью диагональную точку, является гармонической;

б) на каждой стороне четверка точек: две вершины, диагональная точка и точка пересечения этой стороны с диагональю, проходящей через две другие диагональные точки, является гармонической;

в) четверка прямых, проходящих через диагональную точку: пара противоположных сторон и две диагонали, является гармонической.

Для доказательства свойства а) достаточно рассмотретькомпозицию перспективного отображения прямой на прямую из центра и перспективного отображения прямой на прямую из центра . Получим . Кроме того .

Тогда получаем .

, в противном случае , , коллинеарны, что противоречит условию.

Таким образом, , то есть четверка точек диагонали гармоническая.

б) При перспективном отображении прямой на прямую из центра имеем . Таким образом, на стороне имеем гармоническую четверку точек .

в) По определению сложного отношения четырех прямых пучка имеем . Таким образом, пара противоположных сторон и две диагонали, проходящие через диагональную точку, являются гармонической четверкой прямых.

Теорема доказана.

С л е д с т в и е 1.Если для полного четырехвершинника прямые и на евклидовой плоскости параллельны, то − середина отрезка .

С л е д с т в и е 2.Если для полного четырехвершинника точка пересечения диагонали с диагональю на евклидовой плоскости является серединой отрезка , то прямые и параллельны.

С л е д с т в и е 3. Если в пучке прямых прямые делят пополам углы между прямыми , то .

Воспроизведение чертежа, содержащего полный четырехвершинник, дает возможность построения для трех точек прямой (трех прямых пучка) четвертой гармонической точки (прямой). Следствия 1-3 позволяют решить ряд задач на построение, пользуясь одной линейкой. Примеры таких задач можно найти в [13].