Принцип двойственности. Теорема Дезарга

Пусть на проективной плоскости P задан репер . Каждой точке плоскости можно поставить в соответствие прямую с такими же координатами. Каждой прямой с координатами можно поставить в соответствие точку с такими же координатами. Таким образом, будем иметь биективное отображение множества всех точек и прямых плоскости в себя. При этом, если , то есть , то прямая проходит через точку . Это значит, что отображение сохраняет отношение принадлежности точек и прямых. Отсюда следует принцип двойственности на проективной плоскости:

Если на проективной плоскости справедливо предложение относительно точек, прямых и их взаимной принадлежности, то справедливо и двойственное утверждение , которое получается из заменой слова «точка» словом «прямая», слова «прямая» − словом «точка», слов «лежит на» − словами «проходит через», слов «проходит через» − словами «лежит на».

Примеры двойственных предложений

1. : Через любые две точки проективной плоскости проходит единственная проективная прямая.

: Любые две прямые проективной плоскости пересекаются в одной точке.

2. : На проективной прямой существуют, по крайней мере, три различные точки.

: Через каждую точку проходят, по крайней мере, три различные прямые.

3. : На проективной плоскости существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

: На проективной плоскости существуют три прямые, не проходящие через одну точку.

У п р а ж н е н и е. Определить фигуры, двойственные

а) прямой (множеству всех точек, лежащих на одной прямой);

б) пучку прямых;

в) отрезку прямой;

г) трехвершиннику – фигуре, состоящей из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых, попарно соединяющих эти точки.

Пусть в проективном пространстве заданы два трехвершинника и . Вершины и , и , и назовем соответственными вершинами, а прямые и , и , и − соответственными сторонами трехвершинников.

Если прямые, соединяющие соответственные вершины трехвершинников, пересекаются в одной точке, то назовем эту точку центром перспективы этих трехвершинников.

Если точки пересечения соответственных сторон лежат на одной прямой, то назовем эту прямую осью перспективы этих трехвершинников.

Т е о р е м а Дезарга. Если два трехвершинника имеют центр перспективы, то они имеют и ось перспективы.

Доказательство теоремы для трехвершинников, расположенных в расширенном пространстве можно найти в [13].

Справедлива и обратная теорема. В случае трехвершинников, расположенных в одной плоскости, обратная теорема совпадает с утверждением, двойственным теореме Дезарга, и, следовательно, она справедлива по принципу двойственности.

В связи с теоремой Дезарга на плоскости можно рассмотреть фигуру, образованную десятью точками и десятью прямыми – конфигурация Дезарга. Каждой из десяти прямых принадлежат три точки, и через каждую из точек проходят три прямые. Все точки и прямые этой конфигурации равноправны, каждая из них может играть любую роль в отношении теоремы Дезарга.

Теорема Дезарга дает возможность решения ряда задач элементарной геометрии на доказательство и на построение одной линейкой. Примеры таких задач можно найти в пособии [13].