Проективная модель евклидовой плоскости

На проективной плоскости P рассмотрим прямую и две комплексно-сопряженные точки и на прямой − циклические точки.

Можно показать, что группа проективных преобразований, переводящих пару точек в себя, является подгруппой группы и изоморфна группе преобразований подобия евклидовой плоскости. Таким образом, множество P является проективной моделью евклидовой плоскости.

Прямые плоскости назовем перпендикулярными, если соответствующие им несобственные точки гармонически разделяют пару точек .

Окружностью назовем любую овальную кривую, проходящую через точки .

З а д а ч а 1. На проективной модели евклидовой плоскости задана окружность единичного радиуса. На данной прямой от точки отложить единичный отрезок.

Пусть радиус окружности принят за единицу измерения. На прямой отложим единичный отрезок . Если − несобственная точка прямой , то . Если , тогда и . Таким образом, длиной произвольного отрезка естественно назвать число .

З а д а ч а 2.На проективной модели евклидовой плоскости задана окружность единичного радиуса. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

З а д а ч а 3.На проективной модели евклидовой плоскости задана окружность единичного радиуса. Построить биссектрису данного угла.

З а д а ч а 4.На проективной модели евклидовой плоскости задана окружность единичного радиуса. Построить квадрат с заданной стороной .

З а д а ч а 5.На проективной модели евклидовой плоскости задана окружность единичного радиуса. На данной прямой отложить от данной точки отрезок , равный данному отрезку .

Раздел VII. Топология

Лекция 1. Топологическое пространство. Индуцированная топология. Топологические подпространства

Метрические пространства

Известно значение, которое имеет в математике понятие предела. Начиная с длины окружности и, вообще, длин, площадей и объемов кривых фигур, понятие предела проникает почти во все разделы математики, за исключением лишь некоторых её ветвей, вроде, например, абстрактной алгебры. Поэтому целесообразно иметь как можно более общее определение понятия предела, пригодное как можно в более широких областях. Ведь элементами последовательности, предел которой ищется, могут быть не числа, а другие объекты: кривые, произвольные фигуры, функции, матрицы, те или иные преобразования и т.п. Более того, элементами последовательности могут быть не математические, а физические, химические, биологические, экологические и т.п. объекты и явления, возникающие как составляющие какого-то процесса.

Существенным при определении предела является то, что имеются данные о «близости» для элементов множества. Достаточно, чтобы «близость» выражалась с помощью расстояний между элементами, где «расстояние» – это число, которое в каждом конкретном случае определяется из характера данного множества элементов.

Таким образом, приходим к понятию метрического пространства.

О п р е д е л е н и е. Множество называется метрическим пространством, если каждой упорядоченной паре элементов поставлено в соответствие число – расстояние от до так, что выполняются условия:

1. .
2. .
3. .

Примеры метрических пространств:

1. Числовая прямая, евклидова плоскость, евклидово пространство, в которых расстояние можно определить как

a. ;

b. ;

2. . Определим расстояние между элементами множества следующим образом .
Пространтво с такой метрикой называется дискретным метрическим пространством.

3. – совокупность всех вещественных функций, определенных и непрерывных на отрезке , . Имеем метрическое пространство непрерывных функйий.

Из примеров следует, что на любом множестве можно определить метрику; на одном и том же множестве можно определить различные метрики.

Пусть – метрическое пространство. Открытым шаром с центром в точке и радиусом называется множество .

На евклидовой плоскости для метрики в случае примера 1 открытый шар представляет собой внутренние точки круга, а вслучае – квадрат с центром в точке со стороной .

Пользуясь понятием шара, можно определить предел последовательности в любом метрическом пространстве:

Точка называется пределом последовательности точек метрического пространства, если для любого открытого шара найдется такое , что для всех точки содержатся в шаре , то есть .

Однако в некоторых случаях с точки зрения ситуации бывает невозможно ввести удовлетворительную метрику. Чтобы расширить класс областей, в которых возможен предельный переход, обратим внимание на то, что при определении предела в метрическом пространстве мы могли вместо шаров с центром в предельной точке использовать любые подмножества, содержащие эти шары.

Подмножество метрического пространства назовем открытым множеством, если вместе с каждой соей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

Обозначим семейство всех открытых в множеств. Несложно убедиться, что обладает следующими свойствами:

1. ;

2. Объединение любого числа открытых множеств также является открытым множеством.

3. Пересечение конечного числа открытых множеств является открытым множеством.