Аксиоматическое определение проективного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости

Пусть – -мерное векторное пространство над полем R действительных чисел.

Непустое множество P называется проективным -мерным пространством над полем R, если задано отображение P множества ненулевых векторов пространства во множество P, удовлетворяющее условиям:

1. сюръективно, то есть P.

2. .

Элементы множества P называются точками.

Если , то говорят, что вектор порождает точку . Таким образом, каждая точка проективного пространства порождается ненулевым вектором и два вектора порождают одну и ту же точку тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Заметим, что P= , то есть точки проективной прямой порождаются ненулевыми векторами двумерного векторного пространства, точки проективной плоскости – ненулевыми векторами трехмерного векторного пространства.

Приведем примеры (модели) проективной прямой.

Пример 1. Рассмотрим евклидову плоскость с пространством переносов , .

Рассмотрим П − пучок прямых на евклидовой плоскости. Несложно заметить, что отображение П , которое каждому ненулевому вектору ставит в соответствие прямую пучка, параллельную этому вектору, удовлетворяет аксиомам 1-2 проективного пространства. Таким образом, пучок прямых на плоскости является примером проективной прямой.

Пример 2. Другим примером проективной прямой является расширенная прямая . Выбрав точку , не принадлежащую прямой , можно с помощью пучка П определить отображение , удовлетворяющее аксиомам 1-2 проективного пространства

Пример 3. Аналогично, с помощью пучка прямых П можно показать, что множество всех пар диаметрально противоположных точек окружности с центром является примером проективной прямой.

Для построения примеров проективной плоскости рассмотрим евклидово пространство с пространством переносов , .

Несложно показать, что связка прямых , расширенная плоскость, множество всех пар диаметрально противоположных точек сферы являются примерами проективной плоскости. Роль прямой в этих моделях будут играть, соответственно, пучок прямых, расширенная прямая и множество всех пар диаметрально противоположных точек большой окружности сферы.

Отметим, что рассмотренные модели проективной плоскости (прямой) являются изоморфными. То есть между ними можно установить взаимно однозначные соответствия так, что будет сохраняться принадлежность точек прямым. То есть эти модели, с точки зрения геометрии, устроены одинаково и отличаются лишь природой своих элементов, которая для математики не существенна. Таким образом, для решения различных вопросов можно пользоваться удобными моделями.

Из определения проективного пространства вытекают простейшие свойства проективной плоскости

1. Через любые две точки проективной плоскости проходит единственная проективная прямая.
2. Любые две прямые проективной плоскости пересекаются.
3. На проективной прямой существуют три различные точки (точки общего положения).
4. На проективной плоскости существуют, по крайней мере, 7 точек.
5. На проективной плоскости существуют три неколлинеарные точки.
6. На проективной плоскости существуют четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой (точки общего положения).