Линии второго порядка на проективной плоскости

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер , тогда любая точка плоскости имеет координаты – ненулевую тройку действительных чисел, которые определяются с точностью до общего ненулевого множителя.

Для большей общности результатов дальнейших исследований в качестве координат будем использовать комплексные числа и введем так называемые вещественные и мнимые точки. Точка будет вещественной, если тройка чисел ее координаты, может быть приведена к действительным числам умножением на какое-то комплексное число, отличное от нуля; в противном случае точка будет мнимой. Например, точки будут вещественными, а точка мнимой.

Две точки называются комплексно-сопряженными, если их координаты могут быть приведены к такому виду, что соответствующие координаты точек будут сопряженными комплексными числами.

Линией (кривой) второго порядка на проективной плоскости называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют однородному уравнению второго порядка, то есть уравнению вида:

Пользуясь правилом суммирования Эйнштейна, это уравнение можно записать в виде

, (1)

где − действительные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, и .

Используя формулы преобразования координат при переходе от одного репера к другому, несложно доказать, что понятие линии второго порядка не зависит от выбора репера .

Вопрос о взаимном расположении линии второго порядка и прямой, проходящей через точки и , сводится к рассмотрению системы уравнений

где .

Приходим к квадратному уравнению

(2)

Возможны случаи:

а) , то есть . Тогда (в противном случае λ=0, что противоречит условию ).

Решив уравнение (2) относительно , найдем два значения , которым соответствуют две точки пересечения прямой AB и Q (две действительные различные, две действительные совпавшие или две мнимые комплексно-сопряженные).

б) , то есть и , но .

Из (2) следует λμ=0. Отсюда получаем два решения:

λ=0, μ , то есть , и λ 0, μ=0 то есть .

Таким образом, точки и , и только они принадлежат .

в) . В этом случае (2) становится тождеством. Значит, любая точка прямой лежит на , то есть прямая является частью линии .

Выберем репер так, чтобы . Тогда прямая будет иметь уравнение . Для любой точки прямой , в частности для точек , координаты удовлетворяют уравнению . Получаем и уравнение имеет вид

или

.

Имеем пару линейных однородных уравнений

и .

Таким образом, в этом случае распадается на пару прямых.

Итак, на проективной плоскости прямая и линия второго порядка либо имеют две общие точки, либо прямая является частью линии второго порядка и тогда линия распадается на пару прямых. В дальнейшем мы не будем рассматривать кривые, распавшиеся на пару прямых.

Прямая называется касательной к линии второго порядка, если она пересекает линию в двух совпавших точках.

Найдем уравнение касательной в точке линии . Пусть − точка касательной, тогда . Так как , то уравнение, определяющее параметры λ и μ точек пересечения прямой с линией , примет вид

. (3)

Точка соответствует значениям параметров μ=0, .

Вторая точка пересечения и совпадает с , то есть вторая пара значений параметров λ и μ должна быть такой же. А это возможно только тогда, когда

. (4)

Точка , координаты которой удовлетворяют системе уравнений

, (5)

называется особой точкой линии .

Для особой точки уравнение (4) становится тождеством, следовательно, в особой точке нет определенной касательной к кривой.

Если кривая имеет особую точку, то она называется вырожденной. Позже мы покажем, что это будет пара прямых.

Когда и сколько особых точек имеет линия второго порядка?

Если , то система (5) трех линейных однородных уравнений имеет только нулевое решение. Следовательно, не имеет особых точек.

Если , то система (5) имеет единственное независимое решение, то есть имеет единственную особую точку.

Если , то имеем прямую особых точек.

Если − не особая точка линии , то в ней существует единственная касательная к линии, её уравнение

.

Полюсы и поляры. Поляритет

Пусть на проективной плоскости относительно репера линия второго порядка задается уравнением .

Для произвольной точки плоскости рассмотрим множество всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:

. (1)

Если не особая точка, то уравнение (1) определяет прямую: − поляра точки , − полюс прямой .

Если линия не имеет особых точек, то для каждой точки плоскости существует единственная поляра . Для каждой прямой существует единственная точка − полюс, координаты которого можно найти из системы уравнений , где . Кроме того, если , то их поляры различны. Предположим противное. Тогда или имеем систему линейных однородных уравнений

,

определитель которой отличен от нуля. Следовательно, система имеет только нулевое решение. Тогда .

Таким образом, всякая невырожденная линия второго порядка определяет биекцию между точками и прямыми плоскости − поляритет.

Свойства полюсов и поляр.

1. Из уравнения (1) следует, если точка принадлежит линии , то её полярой является касательная к в точке .

2. Из уравнения (1) следует, если точка принадлежит своей поляре, то эта точка принадлежит линии .

3. Пусть точка не лежит на линии . Проведем через прямую , пересекающую в двух различных точках и . Найдем на точку такую, что пара гармонически разделяет пару .

Ясно, что и . Точки , порождаются векторами , где каждое из чисел отлично от нуля. Имеем

.

Это отношение должно быть равно , поэтому или . То есть сумма корней квадратного уравнения

,

определяющего точки пересечения прямой и линии , должна быть равна . Значит, второй коэффициент в уравнении должен быть равен нулю: . Отсюда следует, что точка принадлежит поляре точки .

Таким образом, имеем способ построения поляры точки , не лежащей на линии : через точку проводим прямые и , пересекающие соответственно, в точках и ; для каждой тройки точек и , строим четвертую гармоническую точку и ; прямая − поляра точки .

4. Так как , то имеем свойство взаимности поляритета: если точка лежит на поляре точки , то точка лежит на поляре точки .

Пусть прямая пересекает линию в двух точках и . Тогда, по свойству 1, поляра точки , является касательной к в точке .

Пусть − полюс прямой . Из условия , по свойству взаимности поляритета, следует, что . Следовательно, . Таким образом, можем строить касательные к линии , где и − поляра точки .

Обратно, если через точку проходят две касательные к линии и − точки касания, то прямая − поляра точки .

Если через точку проходят две касательные к линии , то точка называется внешней относительно линии .

Если через нельзя провести ни одной касательной, то − внутренняя относительно линии .

У п р а ж н е н и е.На евклидовой плоскости дан эллипс. На расширенной плоскости построить поляру данной точки относительно этого эллипса в случае: а) находится на эллипсе; б) является внутренней точкой относительно эллипса; в) является внешней точкой относительно эллипса; г) является несобственной точкой некоторой прямой .

У п р а ж н е н и е.На евклидовой плоскости дан эллипс. На расширенной плоскости построить полюс данной прямой относительно данного эллипса в случае а) пересекает эллипс в двух различных вещественных точках; б) касается эллипса; в) пересекает эллипс в двух мнимых комплексно-сопряженных точках; г) − несобственная прямая расширенной плоскости.

У п р а ж н е н и е.Пользуясь одной линейкой, через точку вне круга провести касательную к окружности этого круга.