![]()
Главная Обратная связь Дисциплины:
Архитектура (936) ![]()
|
Ймовірність випадкової події
Ймовірність випадкової події Випадкові події Основним в теорії ймовірностей є поняття випадкового (стохастичного) експерименту – експерименту, результати якого передбачити неможливо. Можливі наслідки випадкового експерименту називаються випадковими подіями. Важливою умовою є можливість повторювати експеримент велику кількість разів. Експеримент визначається певним комплексом умов і можливими його наслідками. Випадкові події позначають частіше великими латинськими буквами. Подія W, яка настає при кожній реалізації експерименту, називається достовірною. Подія Æ, яка не може настати ні при одній реалізації експерименту, називається неможливою.
Із кожної подією Сумою двох подій Добутком двох подій Дві події Подія Сукупність подій
Операції додавання і множення подій мають такі властивості: 1. 2. 3. 4. Достовірна подія при множенні відіграє роль одиниці 5. 6. Для випадкових подій вводиться також різниця подій: Подія Множина А1. А2. А3. У багатьох випадкових експериментах необідно розглядати нескінченні послідовності подій і дії над ними. Якщо в означенні алгебри подій третю умову A3 замінити на умову А3'. Для довільної послідовності
Пара
Ймовірність випадкової події
Статистичне означення ймовірності. Коли ми проводимо деякий випадковий експеримент, то недостатньо знати, які події можуть настати в цьому експерименті, а необхідно ще знати деяку величину, яка б характеризувала можливість настання кожної події. Нехай в однакових умовах проводиться серія із n випадкових експериментів (випробувань), у кожному із яких може настати деяка подія A. Якщо Відносна частота має такі властивості: Спостереження показали, що при проведенні різних серій із великої кількості експериментів, відносні частоти події для цих серій мало відрізняються від певного числа. Ця закономірність називається властивістю статистичної стійкості відносних частот. Таким чином, з кожною випадковою подією можна пов’язати деяке стале число, біля якого групуються відносні частоти події, яке є характеристикою об’єктивного зв’язку між експериментом і випадковою подією, є об’єктивною характеристикою випадкової події. Наприклад, статистичні спостереження показали, що відносна частота народження дівчаток близька до 0,486, відносна частота випадання герба, при киданні монети досить велику кількість раз, близька до числа 0,5. Означення.Число, біля якого групуються відносні частоти випадкової події Це означення ймовірності називається статистичним. На практиці, при великій кількості експериментів, за ймовірність наближено приймають відносну частоту. Із даного означення і властивостей відносної частоти випливають такі властивості ймовірності: Дане означення ймовірності грунтується на реальному експерименті, але недолік його в тому, що для надійного визначення ймовірності необхідно провести велику кількість експериментів, які часто пов’язані з матеріальними витратами.
Класичне означення ймовірності. Нехай простір елементарних подій скінченний або зліченний:
Кожній елементарній події
Тоді, очевидно, визначена таким чином ймовірність має такі властивості: Теорія ймовірностей не вивчає методів визначення ймовірностей елементарних подій. При визначенні ймовірностей елементарних подій приймається до уваги інтуїтивне представлення про ймовірність, основане на статистичному означенні. Теорія ймовірностей вивчає методи знаходження ймовірностей різних складних подій. Розглянемо частинний випадок розглянутої моделі, а саме, класичну модель, коли простір елементарних подій скінченний і елементарні події рівноможливі (немає підстав вважати, що одна із них настає частіше іншої). Нехай Означення. Нехай із експериментом пов’язані n рівноможливих елементарних подій, m із яких спричиняють подію (відношення числа m, наслідків експерименту – елементарних подій, які спричиняють подію Для розв’язування задач із використанням класичного означення ймовірності необхідно: встановити суть випадкового експерименту; чи наслідки його є рівноможливі; підрахувати число всіх можливих наслідків експерименту і число наслідків, що спричиняють дану подію. Тому застосування класичного означення ймовірності частіше всього пов’язане із використанням комбінаторики. Правило добутку. Нехай маємо дві множини із Множина разом із зазначеним порядком її елементів називається упорядкованою. Встановлений у скінченній множині порядок називається перестановкою її елементів. Число перестановок із n елементів дорівнює
Упорядковані k–елементні підмножини множини із n елементів називаються розміщеннями із n елементів по k. Число розміщень із n по k дорівнює
Довільні k–елементні підмножини множини із n елементів називаються комбінаціями із n елементів по k. Число комбінацій із n по k дорівнює
Приклад. В урні є 10 куль: 3 білих і 7 чорних. Із урни випадково вибирають дві кулі. Знайти ймовірність того, що вибрані кулі будуть білі. Розв’язування. Експеримент, що розглядається у даній задачі, полягає у виборі двох куль із десяти. Так як вибір випадковий, то наслідки експерименту рівноможливі, тому n дорівнює числу способів вибору двох куль із десяти:
Геометричне означення ймовірності. Нехай випадковий експеримент полягає у випадковому виборі точки із відрізка Означення. Нехай простір елементарних подій є область
Задача про зустріч. Двоє осіб домовилися зустрітися в певному місці у проміжок часу від 0 до T. Моменти приходу кожного – випадкові і рівноможливі у проміжку . Перший, що приходить, чекає на другого протягом часу і, коли не дочекається, йде ( ). Знайти ймовірність події A – зустріч настане. Розв’язування. Нехай
Аксіоматичне означення ймовірності. При введенні ймовірності за допомогою аксіом необхідно їх вибирати так, щоб ймовірність зберігала властивості відносної частоти. Тільки у цьому випадку теорія буде узгоджуватись із практикою. Найбільш поширеною є аксіоматична побудова теорії ймовірностей, що запропонована в 1933 році А.М.Колмогоровим. Означення. Нехай задано простір елементарних подій P1. P2. P3. P4. Відзначимо, що із P4 випливає P3, але не навпаки. Трійка
Наслідки із аксіом. Н1.Ймовірність неможливої події дорівнює нулю. Н2. Н3.Якщо
Н4.Якщо
Н5. Якщо Н6. Для довільної події Н7. Нехай A і B – довільні події. Тоді
Цю рівність називають теоремою додавання ймовірностей. Н8.
![]() |