ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

С.П. БОБКОВ, Д.О. БЫТЕВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

Учебное пособие

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ивановский государственный химико-технологический университет

Международный университет бизнеса и новых технологий (институт)

С.П. БОБКОВ, Д.О. БЫТЕВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

Учебное пособие

Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной информатики в качестве учебно-методического пособия

для студентов высших учебных заведений.

УДК 681.3

Бобков С.П. Моделирование систем: учеб. пособие / С.П. Бобков,

Д.О. Бытев; Иван. гос. хим.-технол. ун-т. – Иваново, 2008. – 156 с. - ISBN

Цель учебного пособия – дать студентам общее представление о со- временных методах моделирования технических и технико-экономических систем и объектов.

В пособии рассматриваются общие вопросы и современная методо-

логия моделирования, непрерывные и дискретные детерминированные мо-

дели объектов и систем, стохастические модели с дискретным и непрерыв- ным временем. Большое внимание уделено методам имитационного моде- лирования систем с вероятностными характеристиками. Дается обзор дру- гих подходов к моделированию сложных систем, таких как информацион- но-энтропийный, использование нейронных сетей и сетей Петри.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям подготовки 080801 «Прикладная информатика» и 230201

«Информационные системы и технологии». Кроме того, пособие может быть полезным для студентов других специальностей и направлений.

Табл.7. Ил.92. Библиогр.:10 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Иванов-

ского государственного химико-технологического университета.

Рецензенты:

кафедра прикладной математики Ивановского государственного энергетического университета; доктор физико-математических наук В.А.Соколов, (Ярославский государственный университет).

ISBN 5-9616-0268-6 © ГОУ ВПО Ивановский государст- венный химико-технологический университет», 2008

СОДЕРЖАНИЕ

1.5. Понятие математической схемы моделирования . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Общая методика создания математических моделей . . . . . . . . . . . 13

1.7. Основные понятия системного подхода к созданию

математических моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1. Математические модели технических объектов . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. Компонентные функциональные уравнения объектов . . . . . 20

2.1.2. Фазовые переменные и их аналогии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3. Топологические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4. Примеры создания моделей технических объектов . . . . . . . 25

2.1.5. Модели технологических аппаратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Конечные автоматы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1. Понятие конечного автомата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2. Способы описания и классы конечных автоматов . . . . . . . . 32

2.2.3. Другие виды конечных автоматов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Элементы теории марковских случайных процессов . . . . . . . . . . . 39

3.1.1. Понятие случайного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2. Дискретные цепи Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3. Стационарное распределение вероятностей . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.4. Непрерывные марковские цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.5. Уравнения А.Н. Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.6. Потоки событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. Основы теории массового обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1. Обобщенная структурная схема СМО. Параметры

и характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2. Разомкнутые СМО с ожиданием и терпеливыми заявками . 58

3.2.3. Предельные варианты разомкнутой СМО . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4.Общий случай разомкнутой СМО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.5. Замкнутые СМО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.6. Сети массового обслуживания

с простейшими потоками событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3. Вероятностные автоматы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование является универсальным методом получения и использо- вания знаний об окружающем мире. Моделирование всегда используется чело- веком в целенаправленной деятельности, особенно в исследовательской. В со- временных условиях усиливается роль и значение математического моделиро- вания, которое с развитием средств вычислительной техники часто стали назы- вать компьютерным.

Математические (компьютерные) модели, в силу своей логичности и строгого формального характера, позволяют выявить основные факторы, опре- деляющие свойства изучаемых систем и исследовать их реакции на внешние воздействия и изменения параметров. Часто математические модели проще и удобнее использовать, чем натуральные (физические). Они позволяют прово- дить вычислительные эксперименты, реальная постановка которых затруднена или невозможна.

Изучение основных принципов математического моделирования является неотъемлемой частью подготовки специалистов в технических областях дея- тельности. Дисциплины, связанные с изучением основных аспектов моделиро- вания объектов и систем в обязательном порядке входят в соответствующие учебные планы, являясь компонентами федеральных образовательных стандар- тов.

Целью данного учебного пособия является последовательное изложение современных методов моделирования. Пособие предназначено главным обра- зом для студентов, обучающихся по специальностям и направлениям «Инфор- мационные системы» и «Прикладная информатика (по отраслям». Однако, учи- тывая опыт преподавания подобных дисциплин в технических вузах, авторы сочли целесообразным не ограничиваться рассмотрением только информаци- онных систем, но и включить в текст рассмотрение технических и технико- экономических систем и объектов.

Материал пособия выстроен следующим образом. В первой главе рас- сматриваются общие вопросы и современная методология моделирования, ис- пользование системного подхода при создании математических моделей. Вто- рая глава посвящена рассмотрению непрерывных и дискретных детерминиро- ванных моделей объектов и систем. Предлагается использование метода анало- гий при синтезе и анализе моделей технических объектов различной физиче- ской природы. В третьей главе изучаются стохастические модели с дискретным и непрерывным временем. Большое внимание в пособии уделено методам ими- тационного моделирования систем с вероятностными характеристиками, что составляет содержание четвертой главы. В пятой главе дается обзор других подходов к моделированию сложных систем, таких как информационно- энтропийный, использование нейронных сетей и сетей Петри.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ