ОБЩАЯ МЕТОДИКА СОЗДАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В общем случае процесс создания математической модели включает в себя следующие этапы:

1.Постановка задачи исследования. На этом этапе осуществляется выбор свойств объекта (системы), которые подлежат отражению в модели и отбрасы- вание тех свойств, которые на данном этапе исследования разработчик считает несущественными. Этот выбор основан на анализе возможных областей при- менения модели и определяет степень ее универсальности. Далее необходим сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источниками сведений могут быть опыт и знания разработчиков; научно-техническая лите- ратура, прежде всего справочная; описание прототипов - имеющихся моделей для объектов, близких по свойствам к исследуемому; результаты эксперимен- тальных исследований.

2. Синтезструктурыматематическоймодели. Этап заключается в полу- чении общего вида математических соотношений без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров.

3.Определение числовых значений параметров модели. Эта операция ставится, как задача минимизации погрешности математической модели задан-

ной структуры. Она иногда носит название параметрический синтез. При этом часто используются экспериментальные значения выходных параметров объек- та исследования при заданных входных и управляющих.

4.Анализ модели. На этом этапе производится оценка точности и адек- ватности полученной математической модели. Для этой оценки должны при- меняться те значения выходных параметров, которые не были использованы ранее при определении числовых значений параметров

Рис. 1.3. Общая схема получения математической модели.

Следует отметить, что значительную ценность представляют не оценки точности, выполненные в двух-трех точках пространства внешних переменных, а сведения об области адекватности математической модели. И хотя определе- ние области адекватности требует больших вычислительных и эксперимен- тальных затрат, это придает математической модели завершенность и возмож- ность дальнейшего многократного использования.

Общая схема процесса получения аналитических и статистических моде-

лей представлена на рис. 1.3.

Если анализ модели показывает, что она неудовлетворительно описывает объект, то сначала следует попытаться изменить числовые значения некоторых параметров. Когда и данный путь не привел к успеху, нужно скорректировать структуру модели, а затем повторить нижеследующие этапы. Возможна ситуа- ция, при которой мы и теперь не получили желаемого результата. В таком слу- чае ошибка кроется на стадии постановки задачи, то есть необходимо возвра- титься в самое начало работы и повторить процесс вновь.

Из рассмотренной схемы видно, что этапы могут выполняться неодно- кратно в процессе приближения к желаемому результату. Необходимо также добавить, что этап анализа обычно заключается в однократном решении урав- нений, составляющих математическую модель. Однако в процессе получения адекватной модели он повторяется много раз.

Этап постановки задачи является основополагающим, наиболее ответст- венным и важным этапом. Он целиком базируется на знаниях об объекте ис- следования. Постановка задачи абсолютно не поддается формализации, здесь невозможно дать заранее приготовленных рецептов. Это творческий процесс и его успех полностью зависит от опыта, знаний и интуиции исследователя.

Немаловажную роль опыт и интеллект исследователя играют и на стадии синтеза структуры математической модели. Это тоже творческая, плохо фор- мализуемая операция. Однако существуют определенные методические подхо- ды, позволяющие несколько облегчить получение математических моделей. О них будет сказано ниже.

Другие этапы получения математической модели, а также работа с ней допускают использование методов вычислительной математики и могут быть сравнительно легко формализованы. Поэтому они должны выполняться с ис- пользованием современных средств вычислительной техники. Для этого требу- ется создать соответствующие алгоритмы и разработать программы для ком- пьютера. Следует сказать, что в настоящее время существуют разнообразные пакеты прикладных программ, реализующие многие математические методы решения уравнений и задачи оптимизации. Это программное обеспечение мо- жет быть полезно как при параметрическом синтезе, так и при анализе полу- ченной модели. Однако, нельзя забывать, что численные методы могут вносить заметные погрешности и даже существенно искажать полученные данные. По- этому, применяя их, следует внимательно относиться к интерпретации резуль- татов математического моделирования.

При получении математических моделей можно использовать теоретиче-

ский и формальный методы.

Аналитические математические модели создаются в результате исследо- ваний процессов и их закономерностей. Они базируются на фундаментальных законах, а также общепринятых положениях в данной области науки. При вы- воде таких моделей применяют строгие математические преобразования.

Также неформально можно получить и статистические модели. Однако при их получении изучаются лишь внешние проявления свойств объекта ис- следований - выходные параметры и фазовые переменные, а затем производит- ся обработка экспериментальных результатов.

Формальные методы получения моделей используются при известных математических моделях элементов, составляющих объект исследования.