ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА К СОЗДАНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Если параметры систем изменяются во времени, то она называется не- стационарной, противоположным понятием является понятие стационарной системы.

Различают системы линейные и нелинейные. Для линейных систем ре- акция на сумму двух иди более различных воздействий эквивалентна сумме ре- акций на каждое возмущение в отдельности, для нелинейных – это условие не выполняется.

Можно выделить следующие основные определения и свойства системы: система есть совокупность элементов (подсистем). При определенных ус- ловиях элементы сами могут рассматриваться как системы, а исследуемая сис-

тема – как элемент более сложной системы;

связи между элементами в системе превосходят по силе связи этих эле- ментов с элементами, не входящими в систему. Это свойство позволяет выде- лить систему из среды;

для любой системы характерно существование интегративных качеств (свойство эмерджентности), которые присущи системе в целом, но не свой- ственны ни одному ее элементу в отдельности: систему нельзя сводить к про- стой совокупности элементов;

система всегда имеет цели, для которых она функционирует и существует.

В качестве примера можно привести следующее. Если в качестве систе- мы рассматривать компьютерную сеть, то входящие в нее сервер, рабочие станции, маршрутизаторы и т.п. являются элементами системы (подсистема- ми). В свою очередь, например рабочий компьютер, тоже состоит из элементов

– подсистем более низкого уровня (блок питания, материнская плата, жесткий диск и т.д.). Подобное разбиение можно продолжать.

Методология системного подхода при решении задач анализа систем со- стоит в следующем. Задача расчленяется на подзадачи анализа элементов сис- темы. Причем каждый из элементов должен рассматриваться не сам по себе, а во взаимодействии с другими элементами. Решение подзадач должно происхо- дить при условии обеспечения общих целей функционирования всей системы.

При создании математических моделей использование системного под- хода предполагает выделение нескольких уровней абстракции при описании объекта (системы). Объединение уровней, родственных по характеру исполь- зуемого математического аппарата, приводит к образованию нескольких уров- ней в иерархии функциональных моделей. Наиболее наглядно это можно про- демонстрировать на примере моделирования технических объектов.

В качестве примера моделей разного уровня, описывающих один и тот же процесс, рассмотрим нагрев твердого тела.

Если некоторое твердое тело рассматривать, как единую систему, нагре- вающуюся под действием теплового потока, то процесс можно описать с по- мощью простого балансового уравнения:

T = T0

+ 1

C P r

Q, (а)

где T– конечная температура тела; T0– его начальная температура; CP, r- те- плоемкость и плотность материала тела; Q- количество теплоты, полученной телом, отнесенное к его объему.

Будем считать модель (а) моделью верхнего, самого общего уровня абст-

ракции.

Допустим, нас интересует не только конечная температура объекта, но и ее изменение во времени, т.е. кинетика процесса нагрева. Тогда следует перей- ти к более подробному описанию процесса, например, в таком виде:

dT =

Dt

C P r

q(t), (b)

где q(t)- тепловой поток , отнесенный к единице объема тела; t- время.

Для решения приведенного уравнения следует указать закон изменения во времени теплового потока q(t)и задать начальную температуру тела:

T t=0 = T0.

Полученное решение позволит определить изменение температуры тела во времени.

Заметим, что модели (a) и (b) рассматривают тело, как единое целое и в них не входят пространственные координаты.

Наконец, если исследователю важно провести анализ изменения темпе- ратуры не только во времени, но и в различных точках пространства, то следу- ет перейти к еще более подробной детализации процесса. Примем для просто- ты, что тело имеет форму длинного тонкого стержня. Если пренебречь всеми размерами стержня кроме его длины, модель можно представить в виде сле- дующего уравнения:

Ж d2 T ц

з

ч, (с)

которое следует дополнить начальными и граничными условиями, уточняю-

щими протекание процесса, например такими:

T x=0 = f1 (t);

T x=l = f 2 (t);

T t=0 = j(x),

где l- теплопроводность материала стержня; l- его длина; x- пространствен-

ная координата.

Решение данной модели позволит определить температуру в любой точке стержня в любой момент времени.

Проследим, как изменяется вид уравнений математической модели про-

цесса при переходе от одного уровня абстракции к другому.

Модель процесса, представленная на верхнем уровне простейшим алгеб- раическим уравнением (a), усложняется на втором уровне абстракции и прини- мает вид обыкновенного дифференциального уравнения (b). Переход к треть- ему самому подробному уровню приводит к необходимости использовать диф- ференциальное уравнение с частными производными (с). Однако за счет ус- ложнения модели мы получаем дополнительную информацию о процессе. Так, если в первом случае мы можем определить лишь конечную температуру моде- лируемого объекта, то во втором имеем возможность проследить процесс во времени, считая температуру одинаковой во всем объеме тела. Модель третьего уровня уже позволяет исследовать распределение температуры и во времени, и в пространстве.

Безусловно, в данном примере дается чрезвычайно упрощенный подход к описанию процесса. Так не рассматривается отдача тепла нагретым телом в ок- ружающую среду. В модели (с) процесс рассматривается лишь по одной коор- динате, а реальные тела имеют конечные размеры по всем пространственным координатам. Можно добавить и другие условия, не учтенные в примере. Учет этих условий должен привести к появлению новых членов в уравнениях и зна- чительно усложнить их. Однако усложнение математической модели делает ее более адекватной, более приближенной к реальности, хотя и ухудшает ее эко- номичность.

При моделировании технических объектов часто рассмотренные выше модели и уровни абстракции называются следующим образом. Модель вида (с) называют моделью микроуровня, вида (b) – моделью макроуровня, вида (а) – мегауровня. При этом характерно следующее.

1. На микроуровне абстракции используют математические модели, опи-

сывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Для модели- рования применяют аппарат математической физики. Особенностью этих ма- тематических моделей является отражение процессов, протекающих в непре- рывных пространстве и времени. Типичными математическими моделями это- го уровня являются уравнения гидродинамики, теплопереноса, диффузии, уп- ругости. Они представляют собой системы дифференциальных уравнений с ча-

стными производными. В них независимыми переменными являются время и пространственные координаты. Такие математические модели часто называют моделями с распределенными параметрами, поскольку в них параметры и фазовые переменные зависят от координат точек пространства. Если в таких уравнениях время как независимая переменная отсутствует, то они описывают стационарный процесс и называются стационарными. Исследование таких моделей сводится к решению краевых задач. Следует заметить, что, несмотря на полноту описания процесса, возможности применения таких моделей огра- ничены. Попытки исследовать с их помощью процессы в многокомпонентных средах не всегда успешны из-за чрезмерных вычислительных затрат.

2. На макроуровне производится укрупнительная дискретизация про-

странства по функциональному признаку. То есть выделяются характерные зо- ны, в которых процесс можно считать не зависящим от пространственных ко- ординат. Математические модели на этом уровне представляются в виде сис- тем обыкновенных дифференциальных уравнений, где в качестве независимой переменной присутствует только время. Данные модели называют моделями с сосредоточенными параметрами. При рассмотрении стационарного процес- са на данном уровне математические модели получают вид систем алгебраиче- ских уравнений. Математические модели данного уровня являются универ- сальными и пригодными к исследованию как динамических, так и статических режимов процесса.

3. На мегауровне с помощью дальнейшего абстрагирования от характера физических процессов удается еще более упростить модель. Обычно в ней фи- гурируют только фазовые переменные, относящиеся к внешним связям объек- та. Типичными моделями этого уровня являются балансовые соотношения в виде систем алгебраических уравнений.

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ

Все процессы и явления, в которых участвуют объекты материального мира, происходят в пространстве и времени. При этом характеристики процес- са или объекта меняются, что дает возможность говорить об изменении его со- стояния. В каждый момент времени объект находится в одном из возможных состояний и способен переходить во времени и пространстве из одного состоя- ния в другое под действием внешних и внутренних причин. Таким образом, изучаемый объект можно рассматривать как динамическую (изменяющуюся) систему в широком смысле этого понятия. В самом общем случае, как про- странство состояний, так и пространство независимых переменных могут быть непрерывными или дискретными.

Рассмотрение процессов в непрерывных пространстве и времени тради-

ционно производится с использованием математических моделей в виде диф- ференциальных уравнений с частными производными. К ним относятся урав- нения переноса тепла, переноса массы, уравнения механики сплошной среды, электродинамики, упругости и пр. Все они часто объединяются общим поняти- ем – уравнения математической физики. Подробное рассмотрение этих во- просов выходит за рамки изучаемого предмета, поэтому в данной главе мы ог- раничимся детерминированными моделями, где в качестве независимой пере- менной используется только время.