Примеры создания моделей технических объектов

Пример 2.1

В кабельную линию, обладающую сопротивлением Rи емкостью C,по- дается прямоугольный импульс амплитудой U. Определить, через какое время амплитуда импульса на выходе линии достигнет 95% от U. Сопротивлением нагрузки пренебречь.

Решение.

Эквивалентная схема кабельной линии изображена на рисунке 2.1.

Рис. 2.1. Расчетная схема

Запишем компонентные уравнения:

iR = uR/R;

iс= C(duC/dt).

Добавим топологические уравнения:

uвх = uR + uс ;

uС = uН ;

iвх = iR = iс .

Можно записать:

Du u 1

C н R ( u вх

u н ).

Dt R R

После преобразований получим обыкновенное дифференциальное урав- нение первого порядка, составляющее математическую модель процесса пере- дачи напряжения по заданной кабельной линии:

Du 1 1

C н u н

u вх.

dt R R

Полученное уравнение можно решить при соответствующих начальных условиях: uвх = U, при 0 < t .

Решение уравнения:

U н

При uн= 0,95Uполучим

U (1

T

e RC ).

- 1 t

- 1 t

0,95U = U(1 - e

RC )

или

E RC

= 0,05, далее

t = -RC Ч ln 0,05.

Построим график, иллюстрирующие решения задачи (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Изменение напряжения импульса на выходе линии

Пример 2.2

При питании технических устройств сжатым воздухом от компрессора (особенно от поршневого) для сглаживания пульсаций давления устанавливают промежуточную емкость - ресивер. На рис. 2.3 показан ресивер (поз. 1), а экви- валент нагрузки обозначен пневматическим сопротивлением потребителя (поз.

Рис. 2.3. Схема моделируемой системы

Решение.

Опишем движение газа через каждый элемент системы (компонентные уравнения). Используя уравнение (2.5b), запишем поток газа через емкость (ре- сивер):

где V – объем ресивера; kV - коэффициент объемного сжатия воздуха;

r- плотность воздуха; P1– давление газа на выходе ресивера.

Поток газа через второй элемент опишется уравнением (2.5а):

G 2 =

1 P,

где RГ– сопротивление нагрузки; P2– давление газа на нагрузке.

Добавим топологические уравнения:

G1 = G2 ; P1 + P2 = P0 .

С учетом записанного получим следующее уравнение:

P

Уравнение позволяет установить закон изменения давления на выходе ресивера P1при известном законе изменения давления на входе в него P(t).

Начальные условия запишутся так:

P(t) = P1 (t) = P0

P(t) = a sin(bt)

при t < t0 ;

при t0 <t < t*.

Рис. 2.4.Реакция системы на импульс давления

Пример 2.3

После включения электронного устройства микросхема, имеющая темпе- ратуру окружающей среды TC, начинает нагреваться. При этом часть тепла от- дается в окружающую среду. Определить изменение температуры микросхемы во времени, если выделение тепла происходит под действием источника посто- янной мощности NT, а отдача тепла с поверхности пропорциональна разности температур с коэффициентом a.

Решение.

В этом примере мы имеем два параллельно протекающих процесса - на- грев тела постоянным источником тепла и охлаждение тела теплоотдачей в ок- ружающую среду.

Запишем компонентные уравнения. Количество тепла, получаемое мик-

росхемой от источника (процесс 1), можно определить по формуле (2.6с):

dQ1

Dt

= N T.

Количество тепла, отдаваемое в окружающую среду (процесс 2):

dQ 2

Dt

где T– температура микросхемы.

= -a(T - TC ),

Знак «минус» показывает, что данный поток теплоты направлен от мик-

росхемы в окружающую среду.

Топологические уравнения для параллельных процессов имеют вид:

Qобщ = Q1 + Q2 ; Tобщ = T1 = T2 .

Отсюда имеем:

dQ = N

Dt T

- a(T - TC ).

С учетом (2.6b) можно переписать:

dT =

Dt

CT m

[N T

- a(T - TC

)].

Полученное дифференциальное уравнение следует дополнить начальны-

ми условиями: T(t) = TC

при t = 0.

Решение задачи представлено на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Изменение температуры микросхемы во времени

Результаты показывают, что температура стремится к определенному предельному значению, при котором скорости процессов нагрева и охлаждения становятся равными.