МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Физические процессы, как и технические объекты, принято разделять на механические, тепловые, диффузионные, электрические и пр. Модели техниче- ских объектов обычно несложно получить, используя фундаментальные законы соответствующих разделов физики. При этом весьма удобно применять анало- гию в математическом описании объектов различной физической природы. Формальная (на уровне модельных представлений) аналогия различных про- цессов имеет важный физический смысл, иллюстрируя общность фундамен- тальных свойств материи. Использование аналогии не только помогает при ма- тематическом моделировании, но также позволяет применять общие формаль- ные приемы и программные разработки при моделировании явлений различной природы.

Компонентные функциональные уравнения объектов

Любая техническая система состоит из ряда более простых подсистем (элементов). Зависимости, описывающие функционирование элементарных подсистем, которые являются компонентами единой технической системы, час- то называют компонентными уравнениями.

При рассмотрении аналогии компонентных уравнений для различных

физических систем целесообразно в качестве базовой системы выбрать элек-

трическую как наиболее наглядную.

Рассмотрим три уравнения, которыми описываются основные процессы в электрической цепи:

i = u

R

(2.1a);

Du

i = CЭdt

(2.1b);

u = L

di, (2.1c)

Э dt

где i– электрический ток; u– электрическое напряжение; R– электрическое

сопротивление; CЭэлектрическая емкость; LЭ- электрическая индуктивность.

Первое из данных уравнений описывает процесс рассеивания электриче-

ской энергии (преобразование ее в тепло). Второе и третье уравнения описы- вают процессы накопления энергии в потенциальной и кинетической формах. Отметим, что все эти процессы описываются с использованием тока iи напря- жения u, которые являются здесь фазовыми переменными.

Можно сказать, что в электрической системе существуют три вида про-

стейших элементов – типа R,типа C, и типа L. Сочетанием этих простейших элементов, а также источников фазовых переменных можно получить матема- тическую модель любой электрической цепи.

Выделить указанные типы простейших элементов, на которых энергия рассеивается или накапливается можно в системе любой физической природы. При этом не трудно записать математические модели этих элементов, которые в явном виде не всегда идентичны уравнениям (2.1), но могут быть соответст- вующим образом преобразованы.

Рассмотрим механическую систему с поступательным движением.

Потери энергии в этой системе происходят из-за трения, накопление – в элементах массы (вследствие инерции), и в упругих элементах.

Известно уравнение вязкого трения, которое можно записать:

F = kтрv,(2.2a)

где F– сила; v– скорость; kтр- коэффициент трения.

Показать, что это аналог уравнения (2.1a) можно так:

F = v

R M

где RM

= 1/kтр .

Аналогом уравнения (2.1b) является второй закон Ньютона

F = m dv, (2.2b)

Dt

где масса m– мера инерционности, является аналогом электрической емкости.

Наконец, аналогом уравнения (2.1с) может служить уравнение упругости пружины:

F = kуx, (2.2с),

где kу -коэффициент упругости; x– перемещение.

На первый взгляд здесь мало общего. Сделаем преобразования:

dF =

Dt

Dx

k у dt =

K у v

или

v = L M

dF,

Dt

где LM = 1/kу– аналог индуктивности.

В данной системе процессы описываются с использованием в качестве

фазовых переменных скорости vи силы F.

Такие примеры можно продолжать.

Далее приведем без выводов основные компонентные уравнения для дру-

гих физических систем.

Механическая система с вращательным движением. Фазовые переменные – момент сил Mи угловая скорость w. Уравнение вязкого трения вращения:

M = kтр врw,(2.3a)

где kтр вр- коэффициент трения вращения.

Основное уравнение динамики вращательного движения

M = J dw, (2.3b)

Dt

где J– момент инерции.

Уравнение упругости спиральной пружины:

M = kЖj, (2.3с)

где kЖ -коэффициент жесткости пружины; j– угол закручивания.

Деформирование твердого тела.

Фазовые переменные – механическое напряжение sи относительная де-

формация e.

Dt

где m- коэффициент динамической вязкости.

Накопление энергии упругости подчиняется закону Гука:

s = Ee,(2.4b)

где E– модуль (коэффициент) упругости.

Гидравлическая (пневматическая) система.

Фазовые переменные – скорость потока – vи давление P. Вместо скоро-

сти потока чаще используют величину расхода жидкости (газа):

Gv = vSобъемный расход [м3/с]; Gm = vSr– массовый расход [кг/с],

где S– площадь сечения; r -плотность жидкости (газа).

Потери на трение для участка трубопровода можно выразить так:

G m =

1 P, (2.5a)

RГ

где RГ– гидравлическое сопротивление.

Накопление энергии, вследствие сжимаемости потока в объеме:

kV dt

где V – объем; kV - коэффициент объемного сжатия.

Накопление энергии вследствие движения потока жидкости по трубопро-

воду длиной L:

P = L dG m, (2.5c)

S dt

Тепловая система.

Фазовые переменные – поток теплоты qи температура T.

RT

T, (2.6a)

где RГ= L/(lS)– сопротивление теплопроводности, L S– длина и сечение уча-

стка; l-коэффициент теплопроводности материала участка.

Тепловая энергия накапливается телом вследствие его теплоемкости:

где CT– теплоемкость; m– масса.

q = C

m dT, (2.6b)

T dt

Наконец, следует помнить, что тепловой поток в данных задачах эквива-

лентен мощности источников (стоков) тепла и равен производной по времени от количества переданного тепла:

q = dQ. (2.6c)

Dt

2.1.2. Фазовые переменные и их аналогииАнализируя зависимости (2.1) - (2.6) легко заметить следующее. Функционирование любой системы, по сути, может быть рассмотрено,

как преобразование материи (энергии или вещества). В объекте (системе) лю-

бой физической природы, в общем случае, можно выделить элементы трех ти-

пов:

рассеивающие энергию;

накапливающие энергию в кинетической форме;

накапливающие энергию в потенциальной форме.

Компонентные уравнения для элементов формально идентичны. Все они являются уравнениями связи между соответствующими фазовыми перемен- ными. Во всех рассмотренных системах фазовые переменные характеризуют состояние процесса, а их изменения во времени выражают переходные процес- сы соответствующей физической природы. Но имеются и важные отличия в свойствах указанных фазовых переменных.

Одна часть из них выражает интенсивные характеристики рассматривае- мой системы, поэтому их можно называть потенциалами или фазовыми пере- менными потенциального типа. Типичными представителями этой группы можно назвать напряжение uдля электрических систем или температура Tдля тепловых. Основным их свойством является то, что под действием разности (градиента) потенциалов возникают потоки энергии или массы. В свою очередь, потоки выражают экстенсивные характеристики систем и описываются фазо- выми переменными потокового типа. Так, разность напряжений вызывает электрический ток, а разность температур – поток теплоты от более нагретого участка к участку с меньшей температурой.

Приведем таблицу фазовых переменных в компонентных уравнениях для систем различной физической природы.

Таблица 2.1

Топологические уравнения

При синтезе математической модели системы, состоящей из отдельных элементов, только компонентных уравнений недостаточно. Важно также знать, как эти элементы соединены между собой.

Вернемся к электрической системе (электрической цепи постоянного то- ка). Известно, что при последовательном соединении двух элементов ток в них одинаков, а общее напряжение равно сумме напряжений на каждом элементе. При параллельном соединении наоборот – напряжения на элементах равны, а общий ток равен сумме отдельных токов. Это вытекает из известных законов Кирхгофа.

Равенство нулю суммы токов в узлах схемы:

где ik- ток k-й ветви

Еi k k

= 0, (2.7a)

Равенство нулю суммы падений напряжения на элементах при обходе

схемы по произвольному контуру:

еuj = 0, (2.7b)

j

где uj– падение напряжения на j-й ветви

Аналогичные законы имеют место и для систем другой физической при-

роды. Они известны (принцип Даламбера и принцип сложения скоростей в ме-

ханике, уравнение неразрывности в гидродинамике и пр.).

Не приводя конкретных законов, укажем, что для систем различной при- роды действуют те же закономерности в поведении фазовых переменных при различном соединении элементов:

1. При последовательном соединении двух элементов системы фазовые переменные потокового типа в них равны, а переменные потенциального типа складываются, образуя суммарную величину.

2. При параллельном соединении элементов, составляющих систему, складываются фазовые переменные потокового типа, а потенциальные пере- менные равны.

Теперь синтез математической модели системы полностью возможен. Для этого система разбивается на элементы. Для каждого элемента устанавли- ваются соответствующие компонентные уравнения. Они дополняются тополо- гическими уравнениями связи между элементами. Далее к модели могут быть добавлены источники фазовых переменных.